Номер 4, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 4, страница 155.

Условие.

4 Постройте график функции $y = \frac{4}{x} + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = \frac{4}{x} + 2$ необходимо выполнить анализ функции, найти ее ключевые характеристики и точки, а затем изобразить на координатной плоскости.

1. Анализ функции

Функция $y = \frac{4}{x} + 2$ представляет собой гиперболу. Она получена из графика базовой функции $y = \frac{4}{x}$ путем его сдвига (параллельного переноса) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Свойства функции:

Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Асимптоты: Асимптоты — это прямые, к которым график функции приближается бесконечно близко. Для данной гиперболы:

- Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy), так как при $x \to 0$ значение $y$ стремится к бесконечности.

- Горизонтальная асимптота: $y=2$. Она получается из-за сдвига графика $y = \frac{4}{x}$ (у которого асимптота $y=0$) на 2 единицы вверх.

Расположение ветвей: Поскольку коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы находятся в 1-й и 3-й четвертях относительно "нового центра" — точки пересечения асимптот $(0, 2)$.

2. Нахождение координат точек для построения

Чтобы построить график, вычислим координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Для удобства составим таблицу значений:

$x$	$y = \frac{4}{x} + 2$	Точка $(x, y)$
-4	$\frac{4}{-4} + 2 = -1 + 2 = 1$	$(-4, 1)$
-2	$\frac{4}{-2} + 2 = -2 + 2 = 0$	$(-2, 0)$
-1	$\frac{4}{-1} + 2 = -4 + 2 = -2$	$(-1, -2)$
1	$\frac{4}{1} + 2 = 4 + 2 = 6$	$(1, 6)$
2	$\frac{4}{2} + 2 = 2 + 2 = 4$	$(2, 4)$
4	$\frac{4}{4} + 2 = 1 + 2 = 3$	$(4, 3)$

Из таблицы видно, что график пересекает ось Ox в точке $(-2, 0)$, так как при $x=-2$ значение $y=0$. График не пересекает ось Oy, так как $x \neq 0$.

3. Пошаговое построение графика

1. В системе координат OXY проводим пунктирными линиями асимптоты: вертикальную прямую $x=0$ (совпадает с осью Oy) и горизонтальную прямую $y=2$. Эти линии образуют новую систему координат, в которой будет строиться гипербола.

2. Отмечаем точки из таблицы: $(-4, 1)$, $(-2, 0)$, $(-1, -2)$, $(1, 6)$, $(2, 4)$, $(4, 3)$.

3. Через отмеченные точки проводим две плавные кривые (ветви гиперболы). Первая ветвь в верхней правой части (относительно асимптот) проходит через точки $(1, 6)$, $(2, 4)$, $(4, 3)$. Вторая ветвь в левой нижней части проходит через точки $(-4, 1)$, $(-2, 0)$, $(-1, -2)$. Обе ветви неограниченно приближаются к асимптотам, не пересекая их.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{4}{x} + 2$ является гипербола. Для ее построения необходимо сначала начертить асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось Oy) и горизонтальную $y=2$. Затем, вычислив координаты нескольких точек, таких как $(1, 6)$, $(2, 4)$, $(-1, -2)$ и $(-2, 0)$, отметить их на плоскости и соединить плавными кривыми, которые будут приближаться к асимптотам. Ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно точки пересечения асимптот $(0, 2)$.