Номер 7, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 7, страница 155.

Условие.

7 Решите графически систему уравнений $\begin{cases} y = -x^2 + 3, \\ y = -\sqrt{x-1}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график каждой функции, входящей в систему, в одной и той же системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков и будут решением системы.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y = -x^2 + 3 \\ y = -\sqrt{x-1} \end{cases} $$

Построение графика функции $y = -x^2 + 3$

Графиком данной функции является парабола. Это стандартная парабола $y = -x^2$ (ветви направлены вниз), смещенная на 3 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Если $x = 0$, то $y = -0^2 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Если $x = 1$, то $y = -1^2 + 3 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + 3 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = -2^2 + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(2, -1)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(-2, -1)$.

Построение графика функции $y = -\sqrt{x-1}$

Графиком данной функции является ветвь параболы. Сначала определим область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

График функции $y = -\sqrt{x-1}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем смещения на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и последующего симметричного отражения относительно оси $Ox$ (из-за знака "минус" перед корнем).

Найдем несколько точек для построения графика:

• Если $x = 1$, то $y = -\sqrt{1-1} = 0$. Начальная точка графика $(1, 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\sqrt{2-1} = -\sqrt{1} = -1$. Точка $(2, -1)$.
• Если $x = 5$, то $y = -\sqrt{5-1} = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(5, -2)$.

Нахождение решения системы

Построим графики функций $y = -x^2 + 3$ и $y = -\sqrt{x-1}$ в одной системе координат. На графике видно, что кривые пересекаются в одной точке.

Из вычислений, проведенных для построения графиков, видно, что точка $(2, -1)$ принадлежит обоим графикам. Следовательно, это и есть точка их пересечения.

Для уверенности выполним проверку, подставив координаты точки $(2, -1)$ в оба уравнения системы:

1. Для первого уравнения $y = -x^2 + 3$:

$-1 = -(2)^2 + 3$

$-1 = -4 + 3$

$-1 = -1$ (верно).

2. Для второго уравнения $y = -\sqrt{x-1}$:

$-1 = -\sqrt{2-1}$

$-1 = -\sqrt{1}$

$-1 = -1$ (верно).

Поскольку координаты точки $(2, -1)$ удовлетворяют обоим уравнениям, данная пара чисел является решением системы.

Ответ: $(2, -1)$.