Номер 1, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 1, страница 154.

Условие.

1 Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$; сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: построить графики заданных функций и на основе построенных графиков сделать вывод об их взаимном расположении.

1. Построение графиков функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$

Обе функции, $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$, являются обратными пропорциональностями. Их графиками являются гиперболы. Область определения обеих функций — это все действительные числа, кроме $x=0$. Область значений — все действительные числа, кроме $y=0$. Асимптотами для обоих графиков служат оси координат (ось Ox и ось Oy).

Построение графика функции $y = \frac{2}{x}$

Так как коэффициент $k=2$ положителен ($k > 0$), ветви этой гиперболы будут расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y = \frac{2}{x}$	-0.5	-1	-2	-4	4	2	1	0.5

Построение графика функции $y = -\frac{2}{x}$

Так как коэффициент $k=-2$ отрицателен ($k < 0$), ветви этой гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях. Составим таблицу значений для построения:

$x$	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	2	4
$y = -\frac{2}{x}$	0.5	1	2	4	-4	-2	-1	-0.5

Нанеся точки из обеих таблиц на координатную плоскость и соединив их плавными линиями, мы получим два графика в одной системе координат.

2. Вывод о взаимном расположении построенных графиков

Сравним функции $y_1(x) = \frac{2}{x}$ и $y_2(x) = -\frac{2}{x}$.

Заметим, что для любого значения $x$ (кроме $x=0$) выполняется равенство $y_2(x) = -y_1(x)$.

• Симметрия относительно оси абсцисс (оси Ox). Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = \frac{2}{x}$, то точка с координатами $(x_0, -y_0)$ будет принадлежать графику функции $y = -\frac{2}{x}$. Это означает, что графики данных функций симметричны друг другу относительно оси Ox.
• Симметрия относительно оси ординат (оси Oy). Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = \frac{2}{x}$ (то есть $y_0 = \frac{2}{x_0}$), то проверим, принадлежит ли симметричная ей относительно оси Oy точка $(-x_0, y_0)$ второму графику. Подставим ее координаты в уравнение $y = -\frac{2}{x}$: $y_0 = -\frac{2}{-x_0}$, что равносильно $y_0 = \frac{2}{x_0}$. Это верное равенство. Следовательно, графики также симметричны друг другу относительно оси Oy.

Таким образом, построенные графики симметричны друг другу относительно обеих координатных осей.

Ответ: Графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$ — это две гиперболы. График $y = \frac{2}{x}$ расположен в I и III координатных четвертях. График $y = -\frac{2}{x}$ расположен во II и IV координатных четвертях. Графики симметричны друг другу относительно оси абсцисс (Ox) и оси ординат (Oy).