Номер 5, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 5, страница 155.

Условие.

5 Постройте график функции $y = x^2 - 4x + 7$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = x^2 - 4x + 7$ выполним последовательно несколько шагов.

1. Определение общих свойств графика

Функция $y = x^2 - 4x + 7$ является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=-4$, $c=7$. Графиком такой функции является парабола. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ вычисляются по формулам: $x_в = -\frac{b}{2a}$ и $y_в = y(x_в)$.

Найдем абсциссу вершины:
$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_в=2$ в уравнение функции:
$y_в = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 3)$. Прямая $x=2$ является осью симметрии графика.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (y-перехват), подставим $x=0$ в уравнение:
$y(0) = 0^2 - 4(0) + 7 = 7$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 7)$.

Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ (x-перехваты), решим уравнение $y=0$, то есть $x^2 - 4x + 7 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$.

4. Составление таблицы значений

Для более точного построения графика найдем несколько точек, используя симметрию относительно оси $x=2$. У нас есть вершина $(2, 3)$ и точка пересечения с $Oy$ $(0, 7)$.
Точка, симметричная $(0, 7)$ относительно прямой $x=2$, имеет координаты $(4, 7)$.
Возьмем еще одну точку, например при $x=1$:
$y(1) = 1^2 - 4(1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$.
Получаем точку $(1, 4)$. Симметричная ей точка — $(3, 4)$.

Составим таблицу значений:

$x$	$y$
0	7
1	4
2	3
3	4
4	7

5. Построение графика

На координатной плоскости отмечаем вершину $(2, 3)$ и другие найденные точки: $(0, 7)$, $(4, 7)$, $(1, 4)$, $(3, 4)$. Затем соединяем эти точки плавной кривой линией, чтобы получить параболу.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 - 4x + 7$ является парабола с вершиной в точке $(2, 3)$ и ветвями, направленными вверх. График пересекает ось ординат в точке $(0, 7)$ и не пересекает ось абсцисс.