Номер 9, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 9, страница 154.

Условие.

9. Исследуйте на монотонность функцию $y = 2 - \frac{5}{x+2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для исследования функции на монотонность необходимо найти ее производную и определить знаки производной на области определения функции.

1. Найдем область определения функции $y = 2 - \frac{5}{x+2}$.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

$x + 2 \neq 0$

$x \neq -2$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

Для нахождения производной $y'(x)$ воспользуемся правилами дифференцирования. Представим дробь в виде степени:

$y = 2 - 5(x+2)^{-1}$

Теперь найдем производную:

$y' = \left(2 - 5(x+2)^{-1}\right)' = (2)' - (5(x+2)^{-1})' = 0 - 5 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-2} \cdot (x+2)'$

$y' = 5(x+2)^{-2} \cdot 1 = \frac{5}{(x+2)^2}$

3. Определим знак производной и интервалы монотонности.

Проанализируем знак полученной производной $y' = \frac{5}{(x+2)^2}$ на области определения $D(y)$.

Числитель дроби $5$ является положительным числом ($5 > 0$).

Знаменатель дроби $(x+2)^2$ является квадратом выражения, поэтому он всегда положителен для любого $x$ из области определения функции (то есть при $x \neq -2$).

Так как и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся производная $y'(x)$ положительна на всей области определения функции:

$y'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Согласно правилу, если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале монотонно возрастает.

Следовательно, данная функция возрастает на каждом из интервалов, составляющих ее область определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.