Номер 2, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 2, страница 153.

Условие.

2 Приведите примеры функций: ограниченных сверху; ограниченных снизу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

ограниченных сверху

Функция $f(x)$ называется ограниченной сверху на своей области определения, если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \le M$. Это означает, что значения функции не могут превышать некоторое число $M$, которое называется верхней границей функции. Графически это выглядит так, что весь график функции лежит ниже или на горизонтальной прямой $y = M$.

Примеры функций, ограниченных сверху:

1. Квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом: $y = -x^2$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. Максимальное значение функции равно 0. Для любого $x$ выполняется неравенство $-x^2 \le 0$. Таким образом, функция ограничена сверху числом $M=0$. Аналогично, функция $y = -x^2 + 4$ ограничена сверху числом $M=4$.

2. Тригонометрическая функция: $y = \cos(x)$. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $\cos(x) \le 1$. Функция ограничена сверху числом $M=1$.

3. Функция с отрицательным модулем: $y = -|x|$. Так как $|x| \ge 0$ для всех $x$, то $-|x| \le 0$. Максимальное значение функции равно 0, и она ограничена сверху этим числом.

Ответ: Примерами функций, ограниченных сверху, являются $y = -x^2 + 4$ (ограничена сверху числом 4), $y = \cos(x)$ (ограничена сверху числом 1), $y = -|x|$ (ограничена сверху числом 0).

ограниченных снизу

Функция $f(x)$ называется ограниченной снизу на своей области определения, если существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Это означает, что значения функции не могут быть меньше некоторого числа $m$, которое называется нижней границей функции. Графически это выглядит так, что весь график функции лежит выше или на горизонтальной прямой $y = m$.

Примеры функций, ограниченных снизу:

1. Квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом: $y = x^2$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Минимальное значение функции равно 0. Для любого $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$. Таким образом, функция ограничена снизу числом $m=0$. Аналогично, функция $y = x^2 + 3$ ограничена снизу числом $m=3$.

2. Функция модуля: $y = |x|$. По определению, модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для всех $x$. Следовательно, функция ограничена снизу числом $m=0$.

3. Показательная функция: $y = a^x$ (при $a > 0, a \ne 1$). Например, $y = 2^x$. Значения этой функции всегда положительны, то есть $2^x > 0$ для любого действительного $x$. График функции расположен выше оси абсцисс. Таким образом, функция ограничена снизу числом $m=0$.

Ответ: Примерами функций, ограниченных снизу, являются $y = x^2 + 3$ (ограничена снизу числом 3), $y = |x|$ (ограничена снизу числом 0), $y = 2^x$ (ограничена снизу числом 0).