Номер 26.4, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 26. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 3. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 26.4, страница 153.

Условие.

26.4 В уравнении параболы $y = -x^2 + c$ коэффициент $c$ с случайным образом выбирают из чисел $-1, 1, 2, 3, 4$. Какова вероятность того, что эта парабола:

а) не пересечёт четвёртую координатную четверть;

б) будет расположена ниже прямой $y = \sqrt{10}$;

в) пересечёт ось абсцисс в двух точках;

г) будет иметь хотя бы одну общую точку с прямой $y = 2?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

В задаче рассматривается парабола, заданная уравнением $y = -x^2 + c$. Коэффициент $c$ — это случайная величина, которая может принимать одно из значений из множества $\{-1, 1, 2, 3, 4\}$. Всего возможно 5 различных парабол, поэтому общее число равновероятных исходов $n=5$. Для каждого из подпунктов мы определим количество благоприятных исходов $m$ и вычислим вероятность по классической формуле $P = \frac{m}{n}$.

а) не пересечёт четвёртую координатную четверть

Четвёртая координатная четверть характеризуется условиями $x > 0$ и $y < 0$. Парабола $y = -x^2 + c$ имеет ветви, направленные вниз. Её вершина находится в точке $(0, c)$. Чтобы парабола не пересекала четвёртую четверть, необходимо, чтобы для всех $x > 0$ выполнялось условие $y \ge 0$. Это означает, что неравенство $-x^2 + c \ge 0$ должно быть верным для всех $x > 0$. Отсюда следует, что $c \ge x^2$ для всех $x > 0$. Однако, при $x > 0$ выражение $x^2$ может принимать сколь угодно большие значения (например, если $x=10$, $x^2=100$; если $x=100$, $x^2=10000$). Не существует такого конечного числа $c$, которое было бы больше или равно всем этим значениям. Следовательно, для любого значения $c$ из заданного множества парабола обязательно пересечёт четвёртую координатную четверть. Таким образом, число благоприятных исходов $m=0$. Вероятность этого события равна $P = \frac{0}{5} = 0$.

Ответ: $0$.

б) будет расположена ниже прямой $y = \sqrt{10}$

Условие, что парабола $y = -x^2 + c$ расположена ниже прямой $y = \sqrt{10}$, означает, что для любого действительного числа $x$ должно выполняться неравенство: $-x^2 + c < \sqrt{10}$. Функция $y = -x^2 + c$ достигает своего максимального значения в вершине параболы, при $x=0$. Это максимальное значение равно $c$. Чтобы вся парабола была ниже прямой, её максимальное значение должно быть меньше $\sqrt{10}$. То есть, должно выполняться условие $c < \sqrt{10}$. Сравним $\sqrt{10}$ с целыми числами: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$. Значит, $3 < \sqrt{10} < 4$. Теперь проверим, какие из возможных значений $c \in \{-1, 1, 2, 3, 4\}$ удовлетворяют условию $c < \sqrt{10}$: Значения $c = -1, 1, 2, 3$ удовлетворяют этому условию. Значение $c = 4$ не удовлетворяет, так как $4 > \sqrt{10}$ (поскольку $16 > 10$). Таким образом, благоприятными являются 4 исхода. Число благоприятных исходов $m=4$. Вероятность этого события равна $P = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

в) пересечёт ось абсцисс в двух точках

Парабола пересекает ось абсцисс (ось $Ox$) в точках, где $y=0$. Нам нужно найти условия, при которых уравнение $-x^2 + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Перепишем уравнение в виде $x^2 = c$. Это уравнение имеет два различных действительных корня ($x = \sqrt{c}$ и $x = -\sqrt{c}$) тогда и только тогда, когда правая часть уравнения строго положительна, то есть $c > 0$. Проверим, какие из значений $c$ из множества $\{-1, 1, 2, 3, 4\}$ удовлетворяют этому условию. Условию $c > 0$ удовлетворяют значения $1, 2, 3, 4$. Значение $c=-1$ не удовлетворяет. Таким образом, имеется 4 благоприятных исхода. Число благоприятных исходов $m=4$. Вероятность этого события равна $P = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

г) будет иметь хотя бы одну общую точку с прямой $y = 2$

Общие точки параболы $y = -x^2 + c$ и прямой $y=2$ находятся из уравнения, где их $y$-координаты равны: $-x^2 + c = 2$. Условие "иметь хотя бы одну общую точку" означает, что это уравнение должно иметь хотя бы одно действительное решение для $x$. Преобразуем уравнение к виду $x^2 = c - 2$. Уравнение вида $x^2 = A$ имеет хотя бы одно действительное решение (одно при $A=0$, два при $A>0$) тогда и только тогда, когда $A \ge 0$. В нашем случае это означает $c - 2 \ge 0$, или $c \ge 2$. Проверим, какие из значений $c$ из множества $\{-1, 1, 2, 3, 4\}$ удовлетворяют этому условию. Условию $c \ge 2$ удовлетворяют значения $2, 3, 4$. Таким образом, имеется 3 благоприятных исхода. Число благоприятных исходов $m=3$. Вероятность этого события равна $P = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.