Номер 26.3, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Параграф 26. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 3 - номер 26.3, страница 152.

Условие.

26.3 Сколько точек с целочисленными координатами лежит:

а) ниже графика функции $y = \frac{4}{x}$ в первой координатной четверти*;

б) выше графика функции $y = \frac{5}{x}$ в третьей координатной четверти*;

в) ниже графика функции $y = -\frac{3}{x}$ во второй координатной четверти*;

г) между графиками функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$ (не включая точки на координатных осях)?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 6.

а) Мы ищем количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют следующим условиям: они находятся в первой координатной четверти ($x > 0, y > 0$) и лежат ниже графика функции $y = \frac{4}{x}$ (то есть $y < \frac{4}{x}$). Поскольку координаты целочисленные, мы ищем пары целых чисел $(x, y)$ такие, что $x \ge 1$, $y \ge 1$ и $y < \frac{4}{x}$. Давайте переберем возможные целые значения $x \ge 1$:
- Если $x = 1$, то $y < \frac{4}{1} = 4$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящие целые значения $y$ это 1, 2, 3. Получаем 3 точки.
- Если $x = 2$, то $y < \frac{4}{2} = 2$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящее целое значение $y$ это 1. Получаем 1 точку.
- Если $x = 3$, то $y < \frac{4}{3} \approx 1.33$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящее целое значение $y$ это 1. Получаем 1 точку.
- Если $x = 4$, то $y < \frac{4}{4} = 1$. Учитывая, что $y \ge 1$, решений нет.
- Если $x > 4$, то $\frac{4}{x} < 1$, и решений для $y \ge 1$ тем более нет.
Общее количество точек: $3 + 1 + 1 = 5$.
Ответ: 5

б) Мы ищем количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые находятся в третьей координатной четверти ($x < 0, y < 0$) и лежат выше графика функции $y = \frac{5}{x}$ (то есть $y > \frac{5}{x}$). Поскольку координаты целочисленные, мы ищем пары целых чисел $(x, y)$ такие, что $x \le -1$, $y \le -1$ и $y > \frac{5}{x}$. Переберем возможные целые значения $x \le -1$:
- Если $x = -1$, то $y > \frac{5}{-1} = -5$. Учитывая, что $y \le -1$, подходящие целые значения $y$ это -4, -3, -2, -1. Получаем 4 точки.
- Если $x = -2$, то $y > \frac{5}{-2} = -2.5$. Учитывая, что $y \le -1$, подходящие целые значения $y$ это -2, -1. Получаем 2 точки.
- Если $x = -3$, то $y > \frac{5}{-3} \approx -1.67$. Учитывая, что $y \le -1$, подходящее целое значение $y$ это -1. Получаем 1 точку.
- Если $x = -4$, то $y > \frac{5}{-4} = -1.25$. Учитывая, что $y \le -1$, подходящее целое значение $y$ это -1. Получаем 1 точку.
- Если $x = -5$, то $y > \frac{5}{-5} = -1$. Учитывая, что $y \le -1$, решений нет.
- Если $x < -5$, то $-1 < \frac{5}{x} < 0$. Неравенство $y > \frac{5}{x}$ не имеет решений при условии $y \le -1$.
Общее количество точек: $4 + 2 + 1 + 1 = 8$.
Ответ: 8

в) Мы ищем количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые находятся во второй координатной четверти ($x < 0, y > 0$) и лежат ниже графика функции $y = -\frac{3}{x}$ (то есть $y < -\frac{3}{x}$). Поскольку координаты целочисленные, мы ищем пары целых чисел $(x, y)$ такие, что $x \le -1$, $y \ge 1$ и $y < -\frac{3}{x}$. Переберем возможные целые значения $x \le -1$:
- Если $x = -1$, то $y < -\frac{3}{-1} = 3$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящие целые значения $y$ это 1, 2. Получаем 2 точки.
- Если $x = -2$, то $y < -\frac{3}{-2} = 1.5$. Учитывая, что $y \ge 1$, подходящее целое значение $y$ это 1. Получаем 1 точку.
- Если $x \le -3$, то $y < -\frac{3}{-3} = 1$ (для $x=-3$) или $y < -\frac{3}{x} < 1$ (для $x<-3$). Учитывая, что $y \ge 1$, решений нет.
Общее количество точек: $2 + 1 = 3$.
Ответ: 3

г) Мы ищем количество точек с целочисленными координатами $(x, y)$, которые лежат между графиками функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{2}{x}$. Условие "не включая точки на координатных осях" означает, что $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Область определяется двойным неравенством, вид которого зависит от знака $x$.
Случай 1: $x > 0$ (первая и четвертая четверти)
Неравенство имеет вид $-\frac{2}{x} < y < \frac{2}{x}$. Мы ищем целые $x \ge 1$ и целые $y \ne 0$.
- Если $x = 1$, то $-\frac{2}{1} < y < \frac{2}{1}$, то есть $-2 < y < 2$. Целые $y$ в этом интервале: -1, 0, 1. Исключая $y=0$, получаем $y \in \{-1, 1\}$. Это 2 точки: (1, -1) и (1, 1).
- Если $x \ge 2$, то $-1 \le -\frac{2}{x} < y < \frac{2}{x} \le 1$. Единственное возможное целое значение для $y$ в этом диапазоне — это 0, которое исключено. Решений нет.
В этом случае найдено 2 точки.
Случай 2: $x < 0$ (вторая и третья четверти)
Для отрицательных $x$ значение $\frac{2}{x}$ отрицательно, а $-\frac{2}{x}$ положительно. Неравенство "между" означает $\frac{2}{x} < y < -\frac{2}{x}$. Мы ищем целые $x \le -1$ и целые $y \ne 0$.
- Если $x = -1$, то $\frac{2}{-1} < y < -\frac{2}{-1}$, то есть $-2 < y < 2$. Целые $y$ в этом интервале: -1, 0, 1. Исключая $y=0$, получаем $y \in \{-1, 1\}$. Это 2 точки: (-1, -1) и (-1, 1).
- Если $x \le -2$, то $-1 \le \frac{2}{x} < y < -\frac{2}{x} \le 1$. Единственное возможное целое значение для $y$ — это 0, которое исключено. Решений нет.
В этом случае найдено еще 2 точки.
Общее количество точек: $2 + 2 = 4$.
Ответ: 4