Номер 26.6, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 26. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 3. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 26.6, страница 153.

Условие.

26.6 Случайным образом выбирают точку с целочисленными координатами так, чтобы она лежала выше графика функции $y = 2x^2$ и ниже графика прямой $y = 9$. Какова вероятность того, что эта точка лежит:

а) выше оси абсцисс;

б) на оси ординат;

в) левее оси ординат;

г) выше прямой $y = 7$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов, то есть найдем все точки с целочисленными координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют заданным условиям. Условия таковы:

1. Точка лежит выше графика функции $y = 2x^2$, что означает $y > 2x^2$.

2. Точка лежит ниже прямой $y = 9$, что означает $y < 9$.

Поскольку координаты $(x, y)$ целочисленные, мы ищем целые решения системы неравенств:$\begin{cases}y > 2x^2 \\y < 9\end{cases}$

Из второго неравенства $y < 9$ и целочисленности $y$ следует, что максимальное значение ординаты равно 8. Из первого неравенства $y > 2x^2$ и того факта, что $2x^2 \ge 0$, следует, что $y$ всегда положителен. Таким образом, возможные значения для $y$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Найдем возможные значения для абсциссы $x$. Из системы неравенств имеем $2x^2 < y < 9$, что влечет за собой $2x^2 < 9$, или $x^2 < 4.5$. Так как $x$ — целое число, то его возможные значения: $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Теперь посчитаем количество точек для каждого возможного значения $x$:

- При $x = 0$: неравенство $y > 2 \cdot 0^2$ дает $y > 0$. Учитывая, что $y < 9$, получаем $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Это 8 точек.
- При $x = 1$ и $x = -1$: неравенство $y > 2 \cdot (\pm1)^2$ дает $y > 2$. Учитывая, что $y < 9$, получаем $y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Это 6 точек для $x=1$ и 6 точек для $x=-1$, всего 12 точек.
- При $x = 2$ и $x = -2$: неравенство $y > 2 \cdot (\pm2)^2$ дает $y > 8$. Учитывая, что $y < 9$, получаем $8 < y < 9$. В этом интервале нет целых значений $y$, поэтому здесь 0 точек.

Общее число возможных точек (исходов) $N$ равно сумме всех найденных точек: $N = 8 + 12 + 0 = 20$.Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

---

а) выше оси абсцисс;
Точка лежит выше оси абсцисс (оси $Ox$), если ее ордината $y > 0$. Как мы установили ранее, для всех возможных точек $y$ принимает только положительные значения ($y \ge 1$). Следовательно, все 20 точек лежат выше оси абсцисс. Число благоприятных исходов $m = 20$.
Вероятность: $P = \frac{20}{20} = 1$.
Ответ: 1.

б) на оси ординат;
Точка лежит на оси ординат (оси $Oy$), если ее абсцисса $x = 0$. Мы уже посчитали, что при $x=0$ существует 8 подходящих точек. Число благоприятных исходов $m = 8$.
Вероятность: $P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

в) левее оси ординат;
Точка лежит левее оси ординат, если ее абсцисса $x < 0$. Из возможных целочисленных значений $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ этому условию удовлетворяют $x=-1$ и $x=-2$. Для $x=-2$ нет подходящих точек, а для $x=-1$ мы нашли 6 точек. Число благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность: $P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

г) выше прямой y = 7?
Точка лежит выше прямой $y=7$, если ее ордината $y > 7$. Так как $y$ — целое число и $y < 9$, единственное возможное значение $y$ — это 8. Найдем количество точек с ординатой $y=8$:
- При $x=0$: точка $(0, 8)$ удовлетворяет условиям ($8 > 2 \cdot 0^2$ и $8 < 9$).
- При $x=1$: точка $(1, 8)$ удовлетворяет условиям ($8 > 2 \cdot 1^2$ и $8 < 9$).
- При $x=-1$: точка $(-1, 8)$ удовлетворяет условиям ($8 > 2 \cdot (-1)^2$ и $8 < 9$).
Всего таких точек 3. Число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность: $P = \frac{3}{20}$.
Ответ: $\frac{3}{20}$.