Номер 26.7, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 26. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 3. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 26.7, страница 153.

Условие.

26.7 В прямоугольнике ACKM (рис. 69) надо пройти по отмеченным линиям из вершины A в вершину K, двигаясь только вверх или вправо. Сколько всего путей:

а) проходит через вершину M;

б) проходит через точку H;

в) проходит через точку B;

г) можно проложить из вершины A в вершину K?

Рис. 69

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи представим прямоугольник в виде сетки на координатной плоскости. Поместим вершину А в начало координат (0,0). Поскольку двигаться можно только вверх и вправо, то для того чтобы попасть из А в К, нужно сделать 3 шага вправо и 2 шага вверх. Таким образом, вершина К будет иметь координаты (3,2).

Любой путь из точки $(x_1, y_1)$ в точку $(x_2, y_2)$ при движении только вправо и вверх состоит из $dx = x_2-x_1$ шагов вправо и $dy = y_2-y_1$ шагов вверх. Общее количество путей равно числу способов выбрать, какие из $n = dx + dy$ шагов будут сделаны в одном из направлений. Это число вычисляется с помощью формулы для числа сочетаний: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число шагов, а $k$ — число шагов в одном из направлений.

а) проходит через вершину М;

Вершина М имеет координаты (3,0). Чтобы путь из А(0,0) в К(3,2) проходил через М, он должен состоять из двух последовательных частей: от А до М и от М до К. Количество таких путей равно произведению числа путей на каждом из этих участков.

1. Путь из А(0,0) в М(3,0). Необходимо сделать 3 шага вправо и 0 шагов вверх. Существует только один такой путь (три шага вправо подряд). Расчет по формуле: $N_{А \to М} = C_{3+0}^{3} = C_{3}^{3} = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

2. Путь из М(3,0) в К(3,2). Необходимо сделать $3-3=0$ шагов вправо и $2-0=2$ шага вверх. Существует только один такой путь (два шага вверх подряд). Расчет по формуле: $N_{М \to К} = C_{0+2}^{2} = C_{2}^{2} = \frac{2!}{2!0!} = 1$.

Общее число путей через М равно: $N = N_{А \to М} \times N_{М \to К} = 1 \times 1 = 1$.

Ответ: 1.

б) проходит через точку Н;

Точка Н имеет координаты (1,0). Путь из А(0,0) в К(3,2) через Н состоит из двух частей: от А до Н и от Н до К.

1. Путь из А(0,0) в Н(1,0). Необходимо сделать 1 шаг вправо и 0 шагов вверх. Есть только один такой путь. $N_{А \to Н} = C_{1+0}^{1} = C_{1}^{1} = 1$.

2. Путь из Н(1,0) в К(3,2). Необходимо сделать $3-1=2$ шага вправо и $2-0=2$ шага вверх. Общее число шагов $2+2=4$. Количество путей равно $N_{Н \to К} = C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$.

Общее число путей через Н равно: $N = N_{А \to Н} \times N_{Н \to К} = 1 \times 6 = 6$.

Ответ: 6.

в) проходит через точку В;

Точка В имеет координаты (0,1). Путь из А(0,0) в К(3,2) через В состоит из двух частей: от А до В и от В до К.

1. Путь из А(0,0) в В(0,1). Необходимо сделать 0 шагов вправо и 1 шаг вверх. Есть только один такой путь. $N_{А \to В} = C_{1+0}^{1} = C_{1}^{1} = 1$.

2. Путь из В(0,1) в К(3,2). Необходимо сделать $3-0=3$ шага вправо и $2-1=1$ шаг вверх. Общее число шагов $3+1=4$. Количество путей равно $N_{В \to К} = C_{4}^{3} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{24}{6} = 4$.

Общее число путей через В равно: $N = N_{А \to В} \times N_{В \to К} = 1 \times 4 = 4$.

Ответ: 4.

г) можно проложить из вершины А в вершину К?

Чтобы найти общее количество путей из вершины А(0,0) в вершину К(3,2), нужно посчитать, сколькими способами можно совершить 3 шага вправо и 2 шага вверх.

Общее количество шагов равно $3+2=5$. Нужно выбрать, на каких из 5 шагов будет сделано движение вправо (остальные будут вверх). Количество таких способов равно числу сочетаний из 5 по 3.

$N_{общ} = C_{5}^{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Таким образом, существует 10 различных путей из А в К.

Ответ: 10.