Номер 4, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 4, страница 154.

Условие.

4 Постройте график функции $y = 4x^2 - 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = 4x^2 - 5$ необходимо выполнить последовательность шагов, которые позволят определить ключевые характеристики и точки графика.

1. Определение типа функции и направления ветвей параболы

Функция $y = 4x^2 - 5$ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты равны: $a = 4$, $b = 0$, $c = -5$. Графиком такой функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = 4$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = - \frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0)$
Найдем абсциссу вершины: $x_0 = - \frac{0}{2 \cdot 4} = 0$
Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0 = 0$ в уравнение функции: $y_0 = 4(0)^2 - 5 = 0 - 5 = -5$
Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -5)$. Осью симметрии параболы является прямая $x = 0$, то есть ось ординат (ось OY).

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Точка пересечения с осью OY:
Для нахождения точки пересечения с осью ординат нужно подставить $x = 0$ в уравнение. Эта точка совпадает с вершиной параболы: $y(0) = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.

Точки пересечения с осью OX:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс нужно приравнять функцию к нулю ($y=0$) и решить полученное уравнение: $4x^2 - 5 = 0$
$4x^2 = 5$
$x^2 = \frac{5}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{5}{4}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
Таким образом, парабола пересекает ось OX в двух точках: $(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$. (Приблизительно $(-1.12, 0)$ и $(1.12, 0)$).

4. Построение таблицы значений для дополнительных точек

Чтобы построить график более точно, найдем значения функции для нескольких значений $x$, симметричных относительно оси симметрии $x=0$.

$x$	$y = 4x^2 - 5$
$-2$	$4(-2)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$
$-1$	$4(-1)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$
$0$	$4(0)^2 - 5 = -5$
$1$	$4(1)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$
$2$	$4(2)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$

5. Построение графика

На координатной плоскости отмечаем все найденные точки:

• Вершину параболы: $(0, -5)$
• Точки пересечения с осью OX: $(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$
• Дополнительные точки из таблицы: $(-2, 11)$, $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(2, 11)$

Соединяем отмеченные точки плавной кривой. Полученный график является параболой, симметричной относительно оси OY, с вершиной в точке $(0, -5)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: Графиком функции $y = 4x^2 - 5$ является парабола с вершиной в точке $(0, -5)$ и ветвями, направленными вверх. График симметричен относительно оси OY и пересекает ось OX в точках $(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$.