Номер 3, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 3, страница 154.

Условие.

3 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\sqrt{x-1} + 3$ на отрезке $[1; 5]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке необходимо вычислить её значения на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

Дана функция $y = -\sqrt{x-1} + 3$ на отрезке $[1; 5]$.

1. Найдём производную функции и её критические точки.

Производная функции находится по правилу дифференцирования сложной функции:
$y'(x) = \left(-\sqrt{x-1} + 3\right)' = \left(-(x-1)^{\frac{1}{2}} + 3\right)' = -\frac{1}{2}(x-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x-1)' = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная $y'(x)$ никогда не равна нулю, так как её числитель равен -1.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{x-1} = 0$, что происходит при $x=1$.
Эта критическая точка $x=1$ принадлежит заданному отрезку $[1; 5]$, так как является его левой границей.

2. Вычислим значения функции в найденных точках.

Нам необходимо вычислить значения функции на концах отрезка $[1; 5]$. Поскольку критическая точка $x=1$ совпадает с одним из концов отрезка, мы вычисляем значения функции в точках $x=1$ и $x=5$.

При $x=1$:
$y(1) = -\sqrt{1-1} + 3 = -\sqrt{0} + 3 = 0 + 3 = 3$.

При $x=5$:
$y(5) = -\sqrt{5-1} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1$.

3. Определим наименьшее и наибольшее значения.

Мы получили два значения функции: 3 и 1. Теперь сравним их.

Наибольшее значение
Среди полученных значений (3 и 1) наибольшим является 3.
Ответ: $3$.

Наименьшее значение
Среди полученных значений (3 и 1) наименьшим является 1.
Ответ: $1$.