Номер 6, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 1. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 6, страница 154.

Условие.

6 Известно, что $f(x) = 2x^2$, а $g(x) = \frac{4}{x}$. Докажите, что при $x \neq 0$ $f(2x^4) = 2g\left(\frac{1}{x^8}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы доказать тождество $f(2x^4) = 2g(\frac{1}{x^8})$, необходимо преобразовать его левую и правую части, используя заданные определения функций $f(x) = 2x^2$ и $g(x) = \frac{4}{x}$. Доказательство проведем по шагам.

1. Преобразуем левую часть равенства.
Левая часть представляет собой значение функции $f(x)$ от аргумента $2x^4$. Подставим $2x^4$ вместо $x$ в формулу $f(x) = 2x^2$:
$f(2x^4) = 2(2x^4)^2$
Теперь упростим полученное выражение, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2(2x^4)^2 = 2 \cdot (2^2 \cdot (x^4)^2) = 2 \cdot (4 \cdot x^{4 \cdot 2}) = 2 \cdot 4x^8 = 8x^8$.
Таким образом, левая часть тождества равна $8x^8$.

2. Преобразуем правую часть равенства.
Правая часть равна $2g(\frac{1}{x^8})$. Сначала найдем значение функции $g(x)$ от аргумента $\frac{1}{x^8}$. Подставим $\frac{1}{x^8}$ вместо $x$ в формулу $g(x) = \frac{4}{x}$:
$g\left(\frac{1}{x^8}\right) = \frac{4}{\frac{1}{x^8}}$
Упростим полученную многоэтажную дробь. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{4}{\frac{1}{x^8}} = 4 \cdot x^8 = 4x^8$.
Теперь умножим результат на 2, как указано в выражении для правой части:
$2g\left(\frac{1}{x^8}\right) = 2 \cdot (4x^8) = 8x^8$.
Таким образом, правая часть тождества также равна $8x^8$.

3. Сравнение результатов.
В результате преобразований мы установили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению:
Левая часть: $f(2x^4) = 8x^8$.
Правая часть: $2g\left(\frac{1}{x^8}\right) = 8x^8$.
Поскольку $8x^8 = 8x^8$, исходное равенство является верным при всех $x \neq 0$.

Ответ: Равенство доказано. Преобразование левой части дает $f(2x^4) = 2(2x^4)^2 = 8x^8$. Преобразование правой части дает $2g(\frac{1}{x^8}) = 2 \cdot \frac{4}{1/x^8} = 2 \cdot 4x^8 = 8x^8$. Так как обе части равны $8x^8$, тождество верно.