Номер 2, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 2, страница 154.

Условие.

2. Приведите примеры функций: ограниченных сверху; ограниченных снизу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

ограниченных сверху

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$ (которое является подмножеством области определения функции), если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Геометрически это означает, что весь график функции на множестве $X$ расположен не выше горизонтальной прямой $y=M$. Число $M$ называют верхней границей функции.

Пример 1: Парабола с ветвями вниз.
Рассмотрим функцию $y = -x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $-x^2 \le 0$. Таким образом, для любого $x$ значение функции не превышает 0. Следовательно, функция ограничена сверху, например, числом $M=0$. Ее график — парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз.

Пример 2: Тригонометрическая функция.
Функция $y = \sin(x)$. Известно, что область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого $x$ выполняется неравенство $\sin(x) \le 1$. Таким образом, функция $y = \sin(x)$ ограничена сверху числом $M=1$.

Пример 3: Функция с модулем.
Рассмотрим функцию $y = 10 - |x|$. Так как по определению модуля $|x| \ge 0$, то $-|x| \le 0$. Тогда $10 - |x| \le 10$. Функция ограничена сверху числом $M=10$.

Ответ: Примерами функций, ограниченных сверху, являются $y = -x^2$; $y = \cos(x)$; $y = 5 - |x|$.

---

ограниченных снизу

Функция $y=f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Геометрически это означает, что весь график функции на множестве $X$ расположен не ниже горизонтальной прямой $y=m$. Число $m$ называют нижней границей функции.

Пример 1: Парабола с ветвями вверх.
Рассмотрим функцию $y = x^2$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, функция ограничена снизу числом $m=0$. Ее график — парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх.

Пример 2: Показательная функция.
Функция $y = 2^x$. Для любого действительного показателя степени $x$ значение функции $2^x$ всегда будет строго больше нуля. Таким образом, $2^x > 0$, и функция ограничена снизу, например, числом $m=0$.

Пример 3: Функция модуля.
Функция $y = |x|$. По определению, модуль числа всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$ для любого $x$. Значит, функция ограничена снизу числом $m=0$.

Ответ: Примерами функций, ограниченных снизу, являются $y = x^2$; $y = 3^x$; $y = |x|+5$.