Номер 25.21, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.21, страница 151.

Условие.

25.21 Площадь прямоугольного треугольника равна $6\text{ см}^2$. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см больше другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $a$ см. Согласно условию задачи, другой катет на 4 см больше, следовательно, его длина равна $(a + 4)$ см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставим известные значения в формулу. Площадь $S = 6$ см², один катет равен $a$, а второй — $(a + 4)$:

$6 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a + 4)$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2:

$12 = a \cdot (a + 4)$

Раскроем скобки:

$12 = a^2 + 4a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$a^2 + 4a - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку длина катета не может быть отрицательной величиной, корень $a_2 = -6$ не является решением задачи. Следовательно, длина одного катета равна 2 см.

Теперь найдем длину второго катета, который на 4 см больше первого:

$a + 4 = 2 + 4 = 6$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 2 см и 6 см. Проверим: площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$ см², что соответствует условию.

Ответ: катеты равны 2 см и 6 см.