Номер 25.15, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.15, страница 151.

Условие.

25.15 При каком значении p уравнение $x^2 - 2x + 1 = p$ имеет один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы определить, при каком значении параметра p данное уравнение имеет один корень, можно воспользоваться двумя основными методами.

Способ 1: Через дискриминант

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант (D) равен нулю.Сначала преобразуем исходное уравнение к стандартному виду, перенеся p в левую часть:

$x^2 - 2x + 1 = p$

$x^2 - 2x + (1 - p) = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -2$, $c = 1 - p$.

Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - p)$

$D = 4 - 4(1 - p)$

$D = 4 - 4 + 4p$

$D = 4p$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение p, при котором уравнение имеет один корень:

$4p = 0$

$p = 0$

Способ 2: Через выделение полного квадрата

Рассмотрим левую часть уравнения $x^2 - 2x + 1$. Это выражение представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x - 1)^2 = p$

Проанализируем полученное уравнение:

— Если $p > 0$, то уравнение имеет два различных корня: $x - 1 = \sqrt{p}$ и $x - 1 = -\sqrt{p}$, то есть $x = 1 \pm \sqrt{p}$.

— Если $p < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

— Если $p = 0$, то уравнение принимает вид $(x - 1)^2 = 0$. В этом случае есть только один корень $x = 1$.

Оба способа показывают, что уравнение имеет один корень только при $p = 0$.

Ответ: $p=0$