Номер 25.12, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.12, страница 151.

Условие.

25.12 Решите квадратное уравнение несколькими способами:

а) $x^2 - 6x + 8 = 0;$

б) $x^2 + 2x - 8 = 0;$

в) $x^2 - 2x - 8 = 0;$

г) $x^2 + 6x + 8 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 - 6x + 8 = 0$

Способ 1: Решение через дискриминант.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=-6$, $c=8$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Способ 2: Решение по теореме Виета.

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В данном уравнении $p = -6$ и $q = 8$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -(-6) = 6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбираем целые числа, произведение которых равно 8. Это пары (1, 8), (2, 4), (-1, -8), (-2, -4). Проверяем их сумму. Условию $x_1 + x_2 = 6$ удовлетворяет пара чисел 2 и 4. Таким образом, корни уравнения: $x_1=2$, $x_2=4$.

Ответ: 2; 4.

б) $x^2 + 2x - 8 = 0$

Способ 1: Решение через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=-8$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Способ 2: Решение по теореме Виета.

В данном уравнении $p = 2$ и $q = -8$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбираем целые числа, произведение которых равно -8. Это пары (1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4). Условию $x_1 + x_2 = -2$ удовлетворяет пара чисел 2 и -4. Таким образом, корни уравнения: $x_1=2$, $x_2=-4$.

Ответ: -4; 2.

в) $x^2 - 2x - 8 = 0$

Способ 1: Решение через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2$, $c=-8$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Способ 2: Решение по теореме Виета.

В данном уравнении $p = -2$ и $q = -8$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -(-2) = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбираем пары целых чисел, произведение которых равно -8. Условию $x_1 + x_2 = 2$ удовлетворяет пара чисел 4 и -2. Таким образом, корни уравнения: $x_1=4$, $x_2=-2$.

Ответ: -2; 4.

г) $x^2 + 6x + 8 = 0$

Способ 1: Решение через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=6$, $c=8$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Способ 2: Решение по теореме Виета.

В данном уравнении $p = 6$ и $q = 8$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбираем пары целых чисел, произведение которых равно 8. Условию $x_1 + x_2 = -6$ удовлетворяет пара чисел -2 и -4. Таким образом, корни уравнения: $x_1=-2$, $x_2=-4$.

Ответ: -4; -2.