Номер 25.18, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.18, страница 151.

Условие.

25.18 При каких значениях $p$ уравнение $x^2 + 4x - 6 = p$ имеет хотя бы один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы найти значения параметра $p$, при которых данное уравнение имеет хотя бы один корень, преобразуем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Исходное уравнение:

$x^2 + 4x - 6 = p$

Перенесем $p$ в левую часть:

$x^2 + 4x - 6 - p = 0$

Сгруппируем свободный член, чтобы уравнение имело вид $x^2 + 4x - (6 + p) = 0$.

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень (один или два), если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \geq 0$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$a = 1$, $b = 4$, $c = -(6 + p)$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(6 + p))$

$D = 16 + 4(6 + p)$

$D = 16 + 24 + 4p$

$D = 40 + 4p$

Теперь решим неравенство $D \geq 0$ относительно $p$:

$40 + 4p \geq 0$

$4p \geq -40$

$p \geq \frac{-40}{4}$

$p \geq -10$

Таким образом, уравнение имеет хотя бы один корень при всех значениях $p$, которые больше или равны -10.

Этот же результат можно получить, проанализировав функцию $f(x) = x^2 + 4x - 6$. Уравнение $f(x) = p$ имеет решение тогда, когда значение $p$ принадлежит области значений функции $f(x)$. Графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение находится в вершине. Выделим полный квадрат, чтобы найти координаты вершины:

$f(x) = x^2 + 4x - 6 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 6 = (x+2)^2 - 10$

Минимальное значение функции достигается при $x = -2$ и равно $-10$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-10; +\infty)$. Уравнение будет иметь хотя бы один корень, если $p$ принадлежит этой области, то есть $p \geq -10$.

Ответ: $p \geq -10$.