Номер 25.16, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.16, страница 151.

Условие.

25.16 При каких значениях $p$ уравнение $x^2 + 2x + 3 = p$ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы найти значения параметра $p$, при которых данное уравнение не имеет корней, мы должны привести его к стандартному виду квадратного уравнения и проанализировать его дискриминант.

Исходное уравнение: $x^2 + 2x + 3 = p$

Перенесем $p$ в левую часть, чтобы получить уравнение в виде $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 2x + (3 - p) = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 2$, $c = 3 - p$.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант ($D$) отрицателен, то есть $D < 0$. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши коэффициенты в формулу дискриминанта: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - p)$ $D = 4 - 4(3 - p)$ $D = 4 - 12 + 4p$ $D = 4p - 8$

Теперь решим неравенство $D < 0$: $4p - 8 < 0$

Прибавим 8 к обеим частям неравенства: $4p < 8$

Разделим обе части на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства не меняется): $p < 2$

Следовательно, уравнение не имеет корней при всех значениях $p$, которые меньше 2.

Альтернативный способ решения:

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 2x + 3$. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Уравнение $x^2 + 2x + 3 = p$ будет иметь решения в точках пересечения этой параболы с горизонтальной прямой $y = p$. Уравнение не будет иметь корней, если прямая $y=p$ будет расположена ниже вершины параболы, то есть ниже минимального значения функции.

Найдем наименьшее значение функции, которое достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Ордината вершины (минимальное значение функции) находится подстановкой $x_0$ в уравнение параболы: $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

Таким образом, минимальное значение левой части уравнения равно 2. Чтобы уравнение не имело решений, значение $p$ должно быть строго меньше этого минимального значения. $p < 2$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $p < 2$