Номер 25.17, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.17, страница 151.

Условие.

25.17 При каких значениях p уравнение $x^2 - 4x + 4 = p$ имеет два корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы найти значения параметра $p$, при которых данное уравнение имеет два корня, необходимо проанализировать его как квадратное уравнение. Существует два основных способа решения этой задачи: аналитический (через дискриминант) и графический.

Способ 1: Аналитический (с использованием дискриминанта)

1. Приведем уравнение $x^2 - 4x + 4 = p$ к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. для этого перенесем $p$ в левую часть:

$x^2 - 4x + (4 - p) = 0$

2. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

3. Вычислим дискриминант для нашего уравнения. Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -4$, $c = 4 - p$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставляем наши коэффициенты:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - p) = 16 - 4(4 - p) = 16 - 16 + 4p = 4p$

4. Теперь решим неравенство $D > 0$:

$4p > 0$

Разделив обе части на 4, получаем:

$p > 0$

Таким образом, уравнение имеет два различных корня при всех значениях $p$, больших нуля.

Способ 2: Графический

1. Рассмотрим исходное уравнение $x^2 - 4x + 4 = p$ как равенство двух функций: $y = x^2 - 4x + 4$ и $y = p$. Количество решений (корней) уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

2. Проанализируем функцию $y = x^2 - 4x + 4$. Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$

Таким образом, первая функция — это $y = (x - 2)^2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(2; 0)$.

3. Вторая функция $y = p$ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (оси Ox) и проходящую через точку $(0; p)$ на оси ординат (оси Oy).

4. Определим количество точек пересечения графиков в зависимости от значения $p$:

• Если $p < 0$, прямая $y=p$ находится ниже оси Ox и не имеет общих точек с параболой, вершина которой лежит на оси Ox. В этом случае уравнение не имеет действительных корней.
• Если $p = 0$, прямая $y=p$ совпадает с осью Ox и касается параболы в ее вершине $(2; 0)$. В этом случае есть одна точка пересечения, и уравнение имеет один корень ($x=2$).
• Если $p > 0$, прямая $y=p$ находится выше оси Ox и пересекает параболу в двух различных точках. В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Оба способа приводят к одному и тому же результату: уравнение имеет два корня при $p > 0$.

Ответ: при $p > 0$.