Номер 25.11, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 25. Графическое решение квадратных уравнений. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 25.11, страница 151.

Условие.

25.11 Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5 см, а один из его катетов на 1 см больше другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Обозначим длину одного катета прямоугольного треугольника через $x$ см. По условию задачи, другой катет на 1 см больше, значит, его длина составляет $(x + 1)$ см. Длина гипотенузы известна и равна 5 см.

Для нахождения катетов воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в эту формулу известные нам величины:
$x^2 + (x + 1)^2 = 5^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = 25$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0$
$2x^2 + 2x - 24 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 + x - 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для вычисления корней через дискриминант.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку $x$ представляет собой длину стороны треугольника, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, длина одного катета равна $x = 3$ см.
Длина второго катета равна $(x + 1) = 3 + 1 = 4$ см.

Ответ: длины катетов равны 3 см и 4 см.