Номер 7, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Опишите алгоритм решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Примените его для решения уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$.

Описание алгоритма решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$

Алгоритм решения полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, состоит из следующих последовательных шагов:

1. Определение коэффициентов. Необходимо определить числовые значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ в данном уравнении. Коэффициент $a$ стоит при $x^2$, $b$ — при $x$, а $c$ — это свободный член.

2. Вычисление дискриминанта. Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$. Значение дискриминанта определяет количество действительных корней уравнения.

3. Анализ дискриминанта. Существует три возможных случая:
– Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня.
– Если $D = 0$, то уравнение имеет один действительный корень (также говорят о двух совпадающих корнях).
– Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней (корни являются комплексными числами).

4. Нахождение корней. В зависимости от значения дискриминанта корни находятся по следующим формулам:
– Если $D > 0$, то два корня вычисляются как: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
– Если $D = 0$, то единственный корень вычисляется как: $x = \frac{-b}{2a}$.
– Если $D < 0$, то в области действительных чисел решение отсутствует.

Ответ: Алгоритм решения квадратного уравнения заключается в определении его коэффициентов, вычислении дискриминанта $D=b^2-4ac$ и последующем нахождении корней в зависимости от знака $D$: при $D>0$ корни равны $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, при $D=0$ корень равен $x = \frac{-b}{2a}$, а при $D<0$ действительных корней нет.

Применение его для решения уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$

Решим уравнение $3x^2 + 10x + 3 = 0$, используя описанный выше алгоритм.

1. Определяем коэффициенты.
Для нашего уравнения: $a = 3$, $b = 10$, $c = 3$.

2. Вычисляем дискриминант.
Подставляем значения коэффициентов в формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

3. Анализируем дискриминант.
Так как $D = 64$, а $64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

4. Находим корни.
Используем формулу для двух корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Сначала найдем значение корня из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Теперь вычислим сами корни:
$x_1 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Ответ: $-3$; $-\frac{1}{3}$.