Номер 9, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

9. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$, и $c$ — числовые коэффициенты, причем по определению $a \neq 0$.

Количество действительных (вещественных) корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта. Дискриминант обозначается буквой $D$ и вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В зависимости от значения дискриминанта возможны три ситуации:

Случай 1: Дискриминант положителен ($D > 0$)

Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Формулы для их нахождения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Здесь $a=1, b=-5, c=6$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, у уравнения два корня:
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Случай 2: Дискриминант равен нулю ($D = 0$)

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет один действительный корень (иногда говорят, что уравнение имеет два одинаковых корня, или корень кратности 2). Формула для его нахождения:

$x = -\frac{b}{2a}$

Пример: $x^2 - 6x + 9 = 0$.
Здесь $a=1, b=-6, c=9$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$.
Так как $D=0$, у уравнения один корень:
$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Случай 3: Дискриминант отрицателен ($D < 0$)

Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит потому, что извлечение квадратного корня из отрицательного числа не является определенной операцией в множестве действительных чисел.

Пример: $x^2 + x + 1 = 0$.
Здесь $a=1, b=1, c=1$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, отвечая на вопрос, квадратное уравнение может иметь ноль, один или два действительных корня.

Ответ: Квадратное уравнение может иметь два различных действительных корня, один действительный корень или не иметь действительных корней (ноль корней).