Номер 2, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Что такое приведённое квадратное уравнение?

Что такое приведённое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Приведённым квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, у которого старший коэффициент $a$ равен 1. Стандартный вид приведённого квадратного уравнения: $x^2 + px + q = 0$. Коэффициенты в этой форме часто обозначают буквами $p$ и $q$, чтобы отличить их от коэффициентов $b$ и $c$ в общем виде.

Любое квадратное уравнение, в котором $a \neq 1$, можно сделать приведённым. Для этого необходимо разделить все его члены на старший коэффициент $a$. Так как $a \neq 0$, эта операция всегда возможна и приводит к равносильному уравнению: $\frac{ax^2 + bx + c}{a} = \frac{0}{a} \implies x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. В полученном приведённом уравнении $p = \frac{b}{a}$ и $q = \frac{c}{a}$.

Пример. Дано уравнение $4x^2 - 20x + 16 = 0$. Оно не является приведённым, так как $a=4$. Чтобы привести его, разделим обе части уравнения на 4: $x^2 - 5x + 4 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение, где $p=-5$ и $q=4$.

Приведённая форма особенно удобна для применения теоремы Виета, которая устанавливает прямую связь между корнями уравнения ($x_1$ и $x_2$) и его коэффициентами $p$ и $q$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Ответ: Приведённое квадратное уравнение — это квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, то есть уравнение, в котором коэффициент при $x^2$ равен единице.