Номер 2, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Преобразование графиков функций.

Преобразование графиков функций позволяет строить графики сложных функций, отталкиваясь от графиков более простых, базовых функций. Пусть исходная функция задана уравнением $y=f(x)$. Рассмотрим основные виды преобразований.

1. Вертикальный сдвиг

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его сдвига вдоль оси OY.

• Если $c > 0$, то сдвиг выполняется вверх на $c$ единиц.
• Если $c < 0$, то сдвиг выполняется вниз на $|c|$ единиц.

Например, чтобы построить график параболы $y = x^2 + 2$, нужно сдвинуть график $y=x^2$ на 2 единицы вверх. Чтобы построить $y = x^2 - 3$, нужно сдвинуть график $y=x^2$ на 3 единицы вниз.

Ответ: Преобразование $y = f(x) + c$ сдвигает график функции $y=f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси OY.

2. Горизонтальный сдвиг

График функции $y = f(x - c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его сдвига вдоль оси OX.

• Если $c > 0$, то сдвиг выполняется вправо на $c$ единиц. Например, $y = (x-4)^2$.
• Если $c < 0$, то сдвиг выполняется влево на $|c|$ единиц. Например, $y = (x+4)^2 = (x - (-4))^2$.

Например, чтобы построить график $y = \sqrt{x-2}$, нужно сдвинуть график $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо. Чтобы построить $y = \sqrt{x+1}$, нужно сдвинуть график $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево.

Ответ: Преобразование $y = f(x-c)$ сдвигает график функции $y=f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси OX.

3. Вертикальное растяжение и сжатие

График функции $y = a \cdot f(x)$ (при $a > 0$) получается из графика функции $y = f(x)$ путем его растяжения или сжатия вдоль оси OY.

• Если $a > 1$, то происходит растяжение графика от оси OX в $a$ раз.
• Если $0 < a < 1$, то происходит сжатие графика к оси OX в $1/a$ раз.

При этом каждая ордината (координата $y$) точки графика умножается на коэффициент $a$. Например, график $y=2\sin(x)$ получается растяжением графика $y=\sin(x)$ в 2 раза вдоль оси OY. График $y=0.5x^2$ получается сжатием параболы $y=x^2$ в 2 раза к оси OX.

Ответ: Преобразование $y = a \cdot f(x)$ при $a>0$ растягивает (если $a>1$) или сжимает (если $0<a<1$) график функции $y=f(x)$ вдоль оси OY.

4. Горизонтальное растяжение и сжатие

График функции $y = f(bx)$ (при $b > 0$) получается из графика функции $y = f(x)$ путем его растяжения или сжатия вдоль оси OX.

• Если $b > 1$, то происходит сжатие графика к оси OY в $b$ раз.
• Если $0 < b < 1$, то происходит растяжение графика от оси OY в $1/b$ раз.

При этом каждая абсцисса (координата $x$) точки графика делится на коэффициент $b$. Например, график $y=\cos(2x)$ получается сжатием графика $y=\cos(x)$ в 2 раза к оси OY (период функции уменьшается в 2 раза). График $y=\cos(x/3)$ получается растяжением графика $y=\cos(x)$ в 3 раза от оси OY.

Ответ: Преобразование $y = f(bx)$ при $b>0$ сжимает (если $b>1$) или растягивает (если $0<b<1$) график функции $y=f(x)$ вдоль оси OX.

5. Отражение относительно осей координат

Отражения являются частными случаями растяжения с отрицательным коэффициентом.

• Функция $y = -f(x)$ получается из $y = f(x)$ симметричным отражением относительно оси OX.
• Функция $y = f(-x)$ получается из $y = f(x)$ симметричным отражением относительно оси OY.

Например, график $y = -x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, полученная отражением $y=x^2$ относительно оси OX. График $y = \sqrt{-x}$ (определенный для $x \le 0$) получается отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси OY.

Ответ: Преобразование $y = -f(x)$ отражает график $y=f(x)$ относительно оси OX, а преобразование $y = f(-x)$ — относительно оси OY.

6. Преобразования, связанные с модулем

Существует два основных типа преобразований с модулем.

• Для построения графика функции $y = |f(x)|$, часть графика $y = f(x)$, лежащая над осью OX или на ней, остается без изменений, а часть, лежащая под осью OX, симметрично отражается относительно оси OX.
• Для построения графика функции $y = f(|x|)$, часть графика $y=f(x)$, лежащая в правой полуплоскости (где $x \ge 0$), остается без изменений и симметрично отражается относительно оси OY в левую полуплоскость. Часть исходного графика для $x < 0$ при этом отбрасывается.

Например, для построения $y=|x^2-4|$, мы строим параболу $y=x^2-4$ и часть графика ниже оси OX (между $x=-2$ и $x=2$) отражаем вверх. Для построения $y=\ln(|x|)$, мы строим график $y=\ln(x)$ для $x>0$ и отражаем его относительно оси OY.

Ответ: Для $y=|f(x)|$ часть графика ниже оси OX отражается вверх. Для $y=f(|x|)$ часть графика для $x \ge 0$ отражается влево относительно оси OY.

7. Комбинация преобразований

При построении графика функции вида $y = a \cdot f(b(x-c)) + d$ из графика $y=f(x)$ важен порядок действий. Рекомендуется следующий порядок:

1. 1. Сначала выполняются растяжения/сжатия и отражения (умножение на $a$ и $b$). То есть переход от $y=f(x)$ к $y=a \cdot f(bx)$.
2. 2. Затем выполняются сдвиги (прибавление $c$ и $d$). То есть переход от $y=a \cdot f(bx)$ к $y=a \cdot f(b(x-c)) + d$.

Например, построим график функции $y = -2\sqrt{-(x-3)} + 1$. Базовая функция $y=\sqrt{x}$.

• 1. $y=\sqrt{x} \rightarrow y=\sqrt{-x}$ (отражение по OY).
• 2. $y=\sqrt{-x} \rightarrow y=2\sqrt{-x}$ (растяжение по OY в 2 раза).
• 3. $y=2\sqrt{-x} \rightarrow y=-2\sqrt{-x}$ (отражение по OX).
• 4. $y=-2\sqrt{-x} \rightarrow y=-2\sqrt{-(x-3)}$ (сдвиг вправо на 3).
• 5. $y=-2\sqrt{-(x-3)} \rightarrow y=-2\sqrt{-(x-3)} + 1$ (сдвиг вверх на 1).

Ответ: При построении графика функции $y = a \cdot f(b(x-c)) + d$ из графика $y=f(x)$ преобразования удобнее выполнять в порядке: отражения и растяжения/сжатия, а затем сдвиги.