Номер 11, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

11. Опишите алгоритм построения графика функции $y = ax^2 + bx + c$.

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \ne 0$) является парабола. Для ее построения необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Определить направление ветвей параболы.

   Направление ветвей зависит от знака старшего коэффициента $a$. Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

   Ответ: Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$: при $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз.

2. Найти координаты вершины параболы.

   Вершина параболы — это ее точка экстремума (минимума или максимума). Координаты вершины $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам:

   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

   Ордината вершины находится подстановкой найденной абсциссы $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b x_0 + c$.

   Ответ: Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ находятся по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = a(x_0)^2 + b x_0 + c$.

3. Определить ось симметрии параболы.

   Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы, относительно которой график симметричен. Ее уравнение совпадает с абсциссой вершины.

   Уравнение оси симметрии: $x = x_0$, то есть $x = -\frac{b}{2a}$.

   Ответ: Ось симметрии параболы — это прямая, заданная уравнением $x = -\frac{b}{2a}$.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

   • С осью ординат (осью Oy): Для нахождения этой точки необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции: $y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; c)$.

   • С осью абсцисс (осью Ox): Для нахождения этих точек необходимо подставить $y=0$ и решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

     • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Парабола пересекает ось Ox в двух точках: $(x_1; 0)$ и $(x_2; 0)$.
     • Если $D = 0$, уравнение имеет один корень $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Парабола касается оси Ox в одной точке — своей вершине.
     • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

   Ответ: Точка пересечения с осью Oy — $(0; c)$. Точки пересечения с осью Ox (нули функции) находятся как корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

5. Найти несколько дополнительных точек.

   Для более точного построения графика полезно найти еще несколько точек. Для этого выбирают 1-2 значения аргумента $x$ справа или слева от оси симметрии (например, $x_0 + 1$, $x_0 + 2$) и вычисляют для них соответствующие значения функции $y$. Затем, используя свойство симметрии, находят точки с другой стороны от оси. Если точка $(x_0 + k; y_k)$ принадлежит параболе, то и симметричная ей точка $(x_0 - k; y_k)$ также принадлежит параболе.

   Ответ: Для уточнения формы графика вычисляют значения функции для нескольких значений $x$, близких к вершине, и используют ось симметрии для нахождения симметричных им точек.

6. Построить график.

   На координатной плоскости отметить вершину параболы, точки пересечения с осями координат и дополнительные точки. Провести ось симметрии (обычно пунктирной линией). Соединить все отмеченные точки плавной линией, учитывая направление ветвей.

   Ответ: Отметить все найденные точки на координатной плоскости и соединить их плавной кривой — параболой.