Номер 3, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Дробно-линейная функция.

Определение дробно-линейной функции

Дробно-линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $x$ — независимая переменная, а $a, b, c, d$ — некоторые действительные числа.

При этом на коэффициенты накладываются два важных ограничения:

1. $c \neq 0$. Если $c=0$, функция принимает вид $y = \frac{ax+b}{d} = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$, то есть становится линейной, а не дробно-линейной.
2. $ad - bc \neq 0$. Если $ad - bc = 0$, то $ad=bc$. При $c \neq 0$ и $d \neq 0$ это можно записать как $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Обозначив это отношение как $k$, получим $a=ck$ и $b=dk$. Тогда функция примет вид $y = \frac{ckx+dk}{cx+d} = \frac{k(cx+d)}{cx+d} = k$. То есть, функция становится постоянной (константой) на всей области определения.

Таким образом, дробно-линейная функция — это отношение двух линейных функций, которое не является ни линейной функцией, ни константой.

Ответ: Дробно-линейная функция — это функция вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $x$ — переменная, $a, b, c, d$ — константы, причем $c \neq 0$ и $ad-bc \neq 0$.

Основные свойства и график

Основные свойства дробно-линейной функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$:

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $cx+d \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{d}{c}$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; -\frac{d}{c}) \cup (-\frac{d}{c}; +\infty)$.
• Область значений: Чтобы найти область значений, можно выразить $x$ через $y$: $y(cx+d) = ax+b \Rightarrow cxy+dy = ax+b \Rightarrow x(cy-a) = b-dy \Rightarrow x = \frac{b-dy}{cy-a}$. Из этого выражения видно, что $cy-a \neq 0$, то есть $y \neq \frac{a}{c}$. Таким образом, область значений $E(y) = (-\infty; \frac{a}{c}) \cup (\frac{a}{c}; +\infty)$.
• Асимптоты: График дробно-линейной функции имеет две асимптоты — прямые, к которым график приближается, но никогда их не пересекает.
  • Вертикальная асимптота: прямая $x = -\frac{d}{c}$. Это значение $x$, при котором функция не определена.
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y = \frac{a}{c}$. Это значение $y$, которое функция никогда не принимает.
• График: Графиком дробно-линейной функции является гипербола. Её ветви расположены в квадрантах, образованных пересечением асимптот.
• Преобразование к каноническому виду: Любую дробно-линейную функцию можно представить в виде $y = y_0 + \frac{k}{x-x_0}$ путем выделения целой части из дроби. В этом виде:
  • $(x_0, y_0)$ — координаты точки пересечения асимптот (центр симметрии гиперболы), где $x_0 = -\frac{d}{c}$ и $y_0 = \frac{a}{c}$.
  • $k = \frac{bc-ad}{c^2}$ — коэффициент, определяющий форму и расположение ветвей гиперболы. Если $k>0$, ветви расположены в I и III квадрантах относительно асимптот. Если $k<0$, то во II и IV квадрантах.
• Монотонность: Функция строго монотонна на каждом из интервалов своей области определения.
  • Если $ad-bc > 0$ (или $k<0$ в каноническом виде, т.к. $k=\frac{-(ad-bc)}{c^2}$), функция возрастает на $(-\infty; -d/c)$ и на $(-d/c; +\infty)$.
  • Если $ad-bc < 0$ (или $k>0$), функция убывает на $(-\infty; -d/c)$ и на $(-d/c; +\infty)$.

Ответ: Свойства функции $y=\frac{ax+b}{cx+d}$: область определения $x \neq -d/c$; область значений $y \neq a/c$; вертикальная асимптота $x = -d/c$ и горизонтальная асимптота $y = a/c$. Графиком является гипербола.

Алгоритм построения графика дробно-линейной функции

Для построения графика функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ рекомендуется выполнить следующие шаги:

1. Найти асимптоты. Найти вертикальную асимптоту из условия $cx+d=0 \Rightarrow x = -d/c$. Найти горизонтальную асимптоту $y = a/c$. Начертить их на координатной плоскости пунктирными линиями.
2. Найти точки пересечения с осями координат.
   • С осью $Oy$: подставить $x=0$ в уравнение функции, $y = b/d$. Точка $(0, b/d)$.
   • С осью $Ox$: приравнять $y=0$, $\frac{ax+b}{cx+d} = 0 \Rightarrow ax+b=0 \Rightarrow x = -b/a$. Точка $(-b/a, 0)$.
   Отметить эти точки на графике.
3. Найти несколько дополнительных точек. Выбрать несколько значений $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты и вычислить для них соответствующие значения $y$. Это поможет точнее построить ветви гиперболы.
4. Построить график. Соединить полученные точки плавными линиями, образуя две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам.

Ответ: Для построения графика дробно-линейной функции необходимо найти и начертить её асимптоты, определить точки пересечения с осями координат, вычислить несколько дополнительных точек и плавно соединить их, формируя две ветви гиперболы.

Пример построения графика

Построим график функции $y = \frac{2x+8}{x+2}$.

Здесь $a=2, b=8, c=1, d=2$.

1. Находим асимптоты.

• Вертикальная асимптота: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = \frac{a}{c} = \frac{2}{1} = 2$.

2. Находим точки пересечения с осями.

• С осью $Oy$ ($x=0$): $y = \frac{2 \cdot 0 + 8}{0+2} = \frac{8}{2} = 4$. Точка пересечения $(0, 4)$.
• С осью $Ox$ ($y=0$): $\frac{2x+8}{x+2} = 0 \Rightarrow 2x+8 = 0 \Rightarrow x = -4$. Точка пересечения $(-4, 0)$.

3. Определим расположение ветвей.

Преобразуем функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{2x+8}{x+2} = \frac{2(x+2) - 4 + 8}{x+2} = \frac{2(x+2) + 4}{x+2} = 2 + \frac{4}{x+2}$.

Здесь $k=4$. Так как $k > 0$, ветви гиперболы будут расположены в I и III квадрантах относительно асимптот $x=-2, y=2$.

4. Находим дополнительные точки.

• $x=-3 \Rightarrow y = \frac{2(-3)+8}{-3+2} = \frac{2}{-1} = -2$. Точка $(-3, -2)$.
• $x=-6 \Rightarrow y = \frac{2(-6)+8}{-6+2} = \frac{-4}{-4} = 1$. Точка $(-6, 1)$.
• $x=-1 \Rightarrow y = \frac{2(-1)+8}{-1+2} = \frac{6}{1} = 6$. Точка $(-1, 6)$.
• $x=2 \Rightarrow y = \frac{2(2)+8}{2+2} = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(2, 3)$.

5. Строим график.

Наносим на координатную плоскость асимптоты $x=-2$ и $y=2$, отмечаем точки $(0, 4)$, $(-4, 0)$, $(-3, -2)$, $(-6, 1)$, $(-1, 6)$, $(2, 3)$ и строим через них ветви гиперболы.

Ответ: Для функции $y = \frac{2x+8}{x+2}$ вертикальная асимптота $x=-2$, горизонтальная асимптота $y=2$. График — гипербола, проходящая через точки $(0,4)$ и $(-4,0)$ и расположенная в первом и третьем квадрантах относительно своих асимптот.