Номер 7, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Что такое неполное квадратное уравнение?

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не может быть равен нулю ($a \neq 0$).

Если все три коэффициента ($a, b$ и $c$) отличны от нуля, то уравнение называется полным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, помимо старшего, равен нулю. То есть, либо второй коэффициент $b=0$, либо свободный член $c=0$, либо они оба равны нулю.

Рассмотрим три вида неполных квадратных уравнений и способы их решения.

Вид 1. Уравнение вида $ax^2 + c = 0$ (когда $b=0$)

В этом уравнении отсутствует слагаемое с $x$ в первой степени.
Пример: $3x^2 - 75 = 0$.
Для решения переносим свободный член $c$ в правую часть уравнения и делим на коэффициент $a$:
$ax^2 = -c$
$x^2 = -\frac{c}{a}$
Дальнейшее решение зависит от знака полученного выражения $-\frac{c}{a}$:
- Если $-\frac{c}{a} > 0$ (то есть коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки), уравнение имеет два корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
- Если $-\frac{c}{a} < 0$ (то есть коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки), уравнение не имеет действительных корней.

Вид 2. Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ (когда $c=0$)

В этом уравнении отсутствует свободный член.
Пример: $2x^2 + 8x = 0$.
Для решения выносим общий множитель $x$ за скобки:
$x(ax + b) = 0$
Произведение равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение всегда имеет два корня:
$x_1 = 0$
или
$ax + b = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{b}{a}$
Один из корней такого уравнения всегда равен нулю.

Вид 3. Уравнение вида $ax^2 = 0$ (когда $b=0$ и $c=0$)

Это простейший вид неполного квадратного уравнения.
Пример: $-5x^2 = 0$.
Так как по определению $a \neq 0$, то равенство возможно только при условии, что $x^2=0$.
Следовательно, такое уравнение всегда имеет один корень (или говорят "два одинаковых корня"): $x=0$.

Ответ: Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором старший коэффициент $a \neq 0$, а хотя бы один из коэффициентов $b$ (второй коэффициент) или $c$ (свободный член) равен нулю.