Номер 1, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Расскажите, как вы будете графически решать уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. Предложите несколько способов. Решите это уравнение одним из предложенных вами способов.

Графическое решение уравнения — это нахождение корней уравнения как абсцисс (координат $x$) точек пересечения графиков функций. Уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ можно решить графически несколькими способами, преобразуя его к виду $f(x) = g(x)$ и строя графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

Способ 1. Пересечение параболы с осью абсцисс

Этот способ предполагает рассмотрение всего уравнения как одной функции $y = x^2 + 2x - 3$. Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ будут абсциссы точек, в которых график этой функции пересекает ось $Ox$ (то есть, где $y=0$). Для этого нужно построить параболу $y = x^2 + 2x - 3$ и найти ее точки пересечения с осью абсцисс.

Способ 2. Пересечение стандартной параболы и прямой

Исходное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ можно преобразовать, перенеся члены с $x$ и свободный член в правую часть: $x^2 = -2x + 3$. В этом случае решение сводится к нахождению абсцисс точек пересечения двух более простых графиков: параболы $y = x^2$ (с вершиной в начале координат) и прямой $y = -2x + 3$.

Способ 3. Пересечение смещенной параболы и горизонтальной прямой

Можно преобразовать уравнение, выделив в его левой части полный квадрат:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
$(x^2 + 2x + 1) - 1 - 3 = 0$
$(x+1)^2 - 4 = 0$
$(x+1)^2 = 4$
Теперь задача заключается в нахождении абсцисс точек пересечения параболы $y = (x+1)^2$ (график $y=x^2$, смещенный на 1 влево) и горизонтальной прямой $y = 4$.

Решение уравнения одним из предложенных способов

Решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ первым способом. Для этого построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).
Найдем координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = - \frac{b}{2a}$:
$x_в = - \frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Ордината вершины $y_в$ находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек, составив таблицу значений:

Построив параболу по этим точкам, мы видим, что она пересекает ось абсцисс ($Ox$) в двух точках. Из таблицы видно, что значение $y=0$ достигается при $x = -3$ и $x = 1$. Координаты этих точек пересечения: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.
Абсциссы этих точек и являются корнями данного квадратного уравнения.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1$.