Номер 2, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Сколько способов решения квадратного уравнения графическим методом вы узнали в этом параграфе? Какой из способов вам понравился больше всего?

Графический метод решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) заключается в нахождении абсцисс (координат $x$) точек пересечения графиков двух функций. В зависимости от того, как преобразовать исходное уравнение, можно выделить несколько основных способов.

Способ 1. Пересечение параболы с осью абсцисс

Этот способ является наиболее прямым. Уравнение рассматривается как квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$. Корни уравнения — это точки, в которых значение функции равно нулю, то есть точки пересечения ее графика с осью $Ox$.

1. Строится график функции $y = ax^2 + bx + c$. Это парабола. Для построения необходимо:
   • Определить направление ветвей (вверх при $a > 0$, вниз при $a < 0$).
   • Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формуле $x_0 = -{b \over 2a}$.
   • Найти точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$ (получится точка $(0, c)$).
   • Найти несколько дополнительных точек для точности построения.
2. Находятся абсциссы точек пересечения параболы с осью $Ox$. Эти значения и являются корнями уравнения.
   • Две точки пересечения — два действительных корня.
   • Одна точка касания (вершина на оси) — один действительный корень.
   • Нет точек пересечения — нет действительных корней.

Способ 2. Пересечение параболы и прямой

Этот метод основан на преобразовании уравнения к виду, где в левой и правой частях стоят более простые функции. Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ преобразуется к виду $f(x)=g(x)$.

1. Исходное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ преобразуется к виду $ax^2 = -bx - c$.
2. Задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения двух графиков: параболы $y = ax^2$ и прямой $y = -bx - c$.
3. Парабола $y = ax^2$ имеет вершину в начале координат, что упрощает ее построение. Прямую можно построить по двум точкам.
4. Вариант этого способа: можно привести уравнение к виду $x^2 = -{b \over a}x - {c \over a}$. Тогда ищутся точки пересечения стандартной параболы $y = x^2$ и прямой $y = -{b \over a}x - {c \over a}$. Этот вариант особенно удобен, так как для параболы $y = x^2$ можно использовать шаблон.

Способ 3. Пересечение гиперболы и прямой

Это менее стандартный, но также возможный способ.

1. В уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ переносим члены $ax^2$ и $b$ в другую часть: $c = -ax^2 - bx$.
2. Если $x \neq 0$, можно разделить обе части на $x$: ${c \over x} = -ax - b$.
3. Теперь нужно найти абсциссы точек пересечения гиперболы $y = {c \over x}$ и прямой $y = -ax - b$.
4. Этот метод требует осторожности: он не работает, если $c=0$, и не находит корень $x=0$, если он существует. Случай $x=0$ (который возможен только при $c=0$) нужно проверять отдельно.

Ответ: В зависимости от содержания конкретного учебного материала, в параграфе могло быть представлено два или три из описанных выше способов графического решения квадратных уравнений.

Мне больше всего понравился второй способ, а именно его вариант с приведением уравнения к виду $x^2 = kx+m$ и последующим нахождением точек пересечения стандартной параболы $y = x^2$ и прямой $y = kx+m$.

Этот выбор можно обосновать следующими причинами:

• Практичность и простота: Парабола $y = x^2$ является базовой. Ее легко построить, можно даже изготовить шаблон для многократного использования. Построение прямой по двум точкам — также простая задача. Это избавляет от необходимости каждый раз вычислять координаты вершины новой параболы, как в первом способе.
• Наглядность: Взаимное расположение стандартной, всем знакомой параболы и прямой очень четко и наглядно показывает, сколько решений имеет уравнение. Легко увидеть, когда прямая пересекает параболу в двух точках, касается ее в одной или не пересекает вовсе.
• Универсальность: Метод применим к любому полному или неполному квадратному уравнению (в отличие от третьего способа, имеющего ограничения).

Таким образом, этот способ сочетает в себе простоту исполнения, точность (при аккуратном построении) и наглядность, что делает его очень привлекательным для практического применения.

Ответ: Больше всего понравился способ решения квадратного уравнения через построение параболы $y = x^2$ и прямой, так как он наиболее прост в построении, нагляден и универсален.