Номер 7, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Как найти ось симметрии графика функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$?

Графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \ne 0$) является парабола. Парабола — это симметричная кривая, и её ось симметрии представляет собой вертикальную прямую, проходящую через вершину параболы. Следовательно, для нахождения оси симметрии необходимо определить абсциссу (координату $x$) вершины.

Абсциссу вершины можно найти, преобразовав уравнение функции к каноническому виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины. Это преобразование выполняется методом выделения полного квадрата.

Рассмотрим процесс преобразования для исходной функции:

1. Вынесем коэффициент $a$ за скобки, сгруппировав члены, содержащие $x$:
$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

2. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{b}{2a})^2$:
$y = a(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

3. Используя формулу полного квадрата $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$, свернем часть выражения:
$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c$

4. Раскроем внешние скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить канонический вид:
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
$y = a(x - (-\frac{b}{2a}))^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

Из полученного уравнения в канонической форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ видно, что абсцисса вершины $x_0$ равна $-\frac{b}{2a}$.

Поскольку ось симметрии является вертикальной прямой, проходящей через вершину, её уравнение имеет вид $x = x_0$. Таким образом, уравнение оси симметрии графика функции $y = ax^2 + bx + c$ определяется формулой:
$x = -\frac{b}{2a}$

Чтобы найти ось симметрии, нужно взять коэффициенты $a$ и $b$ из уравнения вашей функции и подставить их в эту формулу.

Ответ: Ось симметрии графика функции $y = ax^2 + bx + c$ — это вертикальная прямая, уравнение которой находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.