Номер 7, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Как, используя метод выделения полного квадрата, преобразовать квадратный трёхчлен $x^2 - 6x + 10$, чтобы построить график функции $y = x^2 - 6x + 10$? Какой будет последовательность ваших действий?

Преобразование квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 10$ с использованием метода выделения полного квадрата

Метод выделения полного квадрата заключается в представлении квадратного трехчлена в виде $a(x-h)^2+k$. Для этого используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ или квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Рассмотрим трехчлен $x^2 - 6x + 10$.

1. Первый член $x^2$ является квадратом переменной $x$. Это будет наш $a^2$ из формулы, то есть $a=x$.
2. Второй член $-6x$ является удвоенным произведением первого члена на второй. То есть, $-2ab = -6x$. Так как мы уже знаем, что $a=x$, то получаем $-2 \cdot x \cdot b = -6x$. Отсюда легко найти $b$: $b = \frac{-6x}{-2x} = 3$.
3. Для получения полного квадрата $(x-3)^2$ нам необходим член $b^2=3^2=9$.
4. В исходном выражении у нас есть свободный член $+10$. Мы можем представить его в виде суммы $9+1$, чтобы выделить необходимый нам член $b^2=9$.
   $x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + (9 + 1) = (x^2 - 6x + 9) + 1$.
5. Теперь выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности $(x-3)^2$.
6. Таким образом, исходный трехчлен преобразуется к виду $(x-3)^2 + 1$.

Ответ: $x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1$.

Последовательность действий для построения графика функции $y = x^2 - 6x + 10$

После того как мы преобразовали функцию к виду $y = (x-3)^2 + 1$, мы можем построить ее график, используя последовательные преобразования (сдвиги) графика базовой функции $y=x^2$.

Общий вид преобразованной параболы: $y = a(x-h)^2+k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. В нашем случае $a=1$, $h=3$, $k=1$. Значит, вершина параболы находится в точке $(3, 1)$.

Последовательность действий для построения:

1. Построение базового графика. Строим график функции $y=x^2$. Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Горизонтальный сдвиг. Сдвигаем график $y=x^2$ на $h=3$ единицы вправо вдоль оси Ox. Это соответствует вычитанию 3 из аргумента $x$, то есть мы получаем график функции $y=(x-3)^2$. Вершина новой параболы теперь находится в точке $(3, 0)$.
3. Вертикальный сдвиг. Сдвигаем полученный график $y=(x-3)^2$ на $k=1$ единицу вверх вдоль оси Oy. Это соответствует прибавлению 1 ко всей функции, и мы получаем искомый график $y=(x-3)^2+1$. Вершина параболы смещается в точку $(3, 1)$.

Ответ: Последовательность действий:
1. Построить параболу $y=x^2$.
2. Сдвинуть ее на 3 единицы вправо.
3. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх.
В результате мы получим график функции $y = x^2 - 6x + 10$, который является параболой с вершиной в точке $(3, 1)$ и ветвями, направленными вверх.