Номер 5, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Что является графиком функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0?$

Функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ – некоторые числовые коэффициенты, при условии, что $a \neq 0$, называется квадратичной функцией.

Графиком такой функции является кривая линия, называемая параболой.

Основные характеристики этой параболы и ее расположение на координатной плоскости полностью определяются коэффициентами $a, b$ и $c$:

Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$.
- Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы является ее ключевой точкой — точкой экстремума (минимума при $a > 0$ или максимума при $a < 0$). Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Точки пересечения с осями координат:
- С осью ординат (Oy): пересечение происходит в точке, где $x=0$. Подстановка этого значения в уравнение функции дает $y=c$. Координаты точки: $(0, c)$.
- С осью абсцисс (Ox): точки пересечения (или нули функции) соответствуют решению квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Их количество определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
-- при $D > 0$ — две точки пересечения;
-- при $D = 0$ — одна точка касания (вершина параболы лежит на оси Ox);
-- при $D < 0$ — точек пересечения с осью Ox нет.

Важно отметить, что именно условие $a \neq 0$ гарантирует, что функция является квадратичной, а ее график — параболой. В случае $a=0$ функция вырождается в линейную $y=bx+c$, графиком которой является прямая.

Ответ: парабола.