Номер 8, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Как найти вершину параболы $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$?

Вершина параболы — это её точка экстремума (минимум, если ветви параболы направлены вверх, или максимум, если ветви направлены вниз). Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, можно найти несколькими способами.

Способ 1: По формулам

Это наиболее прямой и быстрый способ нахождения координат вершины. Существуют готовые формулы для абсциссы ($x_0$) и ординаты ($y_0$) вершины.

1. Находим абсциссу вершины ($x_0$)

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Эта формула получается из нахождения точки экстремума функции с помощью производной. Производная функции $y(x) = ax^2 + bx + c$ равна $y'(x) = 2ax + b$. В точке экстремума производная равна нулю: $2ax + b = 0$, откуда $x = -\frac{b}{2a}$.

2. Находим ординату вершины ($y_0$)

Чтобы найти ординату, нужно подставить найденное значение $x_0$ в исходное уравнение параболы:

$y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b(x_0) + c = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) + c$

После упрощения этого выражения можно получить и прямую формулу для $y_0$:

$y_0 = a(\frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Часто эту формулу записывают через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$y_0 = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{D}{4a}$

Таким образом, координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти, просто подставив коэффициенты $a, b, c$ в эти две формулы.

Ответ: Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$.

Способ 2: Выделение полного квадрата

Этот метод заключается в приведении уравнения параболы из вида $y = ax^2 + bx + c$ к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, который называется вершинной формой. Из этой формы координаты вершины $(x_0, y_0)$ видны сразу.

Процесс преобразования выглядит следующим образом:

1. Вынесем коэффициент $a$ за скобки у первых двух слагаемых:

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

2. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}$:

$y = a(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$

3. Свернем полный квадрат и вынесем оставшийся член за скобки, умножив его на $a$:

$y = a((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}) + c$

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$

$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

4. Сравнивая полученное уравнение с вершинной формой $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, получаем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Этот метод более громоздкий для вычислений, но он наглядно показывает, как стандартная форма уравнения связана с положением вершины.

Ответ: Необходимо привести уравнение $y = ax^2 + bx + c$ к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ путем выделения полного квадрата. Числа $x_0$ и $y_0$ и будут координатами вершины параболы.