Номер 3, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Всегда ли удобно решать квадратное уравнение графическим способом? Если нет, то приведите пример такого уравнения и укажите причины неудобства.

Нет, не всегда удобно решать квадратное уравнение графическим способом. Этот метод очень нагляден и полезен для понимания сути решения, но он имеет ряд существенных недостатков, которые делают его непрактичным во многих случаях.

Пример уравнения, которое неудобно решать графически

Рассмотрим следующее квадратное уравнение:

$10x^2 + x - 3 = 0$

Причины неудобства

Для решения этого уравнения графическим способом необходимо построить параболу $y = 10x^2 + x - 3$ и найти точки ее пересечения с осью абсцисс ($y=0$). Однако здесь возникает несколько проблем:

1. Низкая точность при нецелых корнях.

   Если решить это уравнение аналитически, используя формулу корней через дискриминант, мы получим:

   $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

   $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = 0,5$

   $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 10} = \frac{-12}{20} = -0,6$

   Как видно, корни являются дробными числами. Определить такие значения по графику, построенному от руки, с достаточной точностью очень сложно. Можно легко ошибиться и получить, например, $0,4$ или $-0,7$. Если бы корни были иррациональными (например, в уравнении $x^2 + x - 1 = 0$), то точно определить их по графику было бы в принципе невозможно.

2. Сложность построения графика.

   Из-за большого коэффициента $a=10$ ветви параболы $y = 10x^2 + x - 3$ будут очень крутыми, "прижатыми" к оси $y$. Это делает аккуратное построение графика затруднительным. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{20} = -0,05$. Построить график с такой точностью на обычной клетчатой бумаге крайне неудобно.

3. Большие временные затраты.

   Аналитическое решение по формуле заняло меньше минуты. Точное же построение графика (нахождение вершины, оси симметрии, точек пересечения с осями и нескольких дополнительных точек для плавности кривой) требует значительно больше времени и усилий, при этом давая менее точный результат.

Ответ: Решать квадратное уравнение графическим способом не всегда удобно. Основные причины неудобства: 1) низкая точность, особенно если корни дробные или иррациональные; 2) сложность построения графика при больших, малых или дробных коэффициентах, что затрудняет выбор масштаба и аккуратное изображение параболы; 3) большие затраты времени по сравнению с быстрым и точным аналитическим решением по формуле. Примером неудобного уравнения является $10x^2 + x - 3 = 0$, так как у него дробные корни и "крутые" ветви параболы, что усложняет построение и нахождение точного ответа по графику.