Номер 6, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Как вычислить абсциссу $x_0$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$?

Абсциссу $x_0$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, можно вычислить, приведя это уравнение к вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины. Этот процесс называется выделением полного квадрата.

Сначала вынесем коэффициент $a$ за скобки у слагаемых, содержащих $x$:
$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$.

Затем дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{b}{2a})^2$:
$y = a \left( x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right) + c$.

Теперь первые три слагаемых в скобках можно свернуть по формуле квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:
$y = a \left( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right) + c$.

Раскроем внешние скобки, умножив $a$ на каждое слагаемое внутри них:
$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$
$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$.

Представим полученное уравнение в стандартной вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, чтобы явно увидеть координаты вершины:
$y = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)$.

Сравнивая это уравнение с каноническим видом $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, мы видим, что абсцисса вершины $x_0$ равна $-\frac{b}{2a}$.

Альтернативный способ, использующий математический анализ, заключается в нахождении производной функции. Вершина параболы является ее точкой экстремума, в которой производная равна нулю. Производная функции $y(x)$ равна $y' = 2ax + b$. Приравняв ее к нулю, получаем $2ax_0 + b = 0$, откуда следует та же самая формула: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Ответ: Абсциссу $x_0$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляют по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.