Номер 4, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Какой алгоритм построения графика функции $y = f(x + l) + m$ вам больше нравится? Каким вы будете пользоваться при решении задач и почему?

Для построения графика функции $y = f(x + l) + m$ на основе известного графика функции $y = f(x)$ существуют два основных алгоритма, которые отличаются порядком выполнения параллельных переносов (сдвигов). Оба алгоритма приводят к верному результату, поскольку горизонтальный и вертикальный сдвиги являются независимыми преобразованиями.

Алгоритм 1: Сначала горизонтальный сдвиг, затем вертикальный

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Сдвинуть график $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (горизонтально) на $|l|$ единиц: влево, если $l > 0$, или вправо, если $l < 0$. В результате получится график функции $y = f(x+l)$.
3. Сдвинуть полученный график $y = f(x+l)$ вдоль оси ординат (вертикально) на $|m|$ единиц: вверх, если $m > 0$, или вниз, если $m < 0$. В результате получится итоговый график $y = f(x+l)+m$.

Алгоритм 2: Сначала вертикальный сдвиг, затем горизонтальный

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Сдвинуть график $y = f(x)$ вдоль оси ординат (вертикально) на $|m|$ единиц. В результате получится график функции $y = f(x)+m$.
3. Сдвинуть полученный график $y = f(x)+m$ вдоль оси абсцисс (горизонтально) на $|l|$ единиц. В результате получится итоговый график $y = f(x+l)+m$.

Какой алгоритм построения графика функции $y = f(x + l) + m$ вам больше нравится?

Больше всего мне нравится концептуальный подход, который объединяет эти два преобразования в одно действие — параллельный перенос на вектор. Этот метод не требует построения промежуточного графика, что делает его более элегантным и быстрым.

Суть метода в том, что весь график функции $y = f(x)$ переносится на вектор $\vec{v} = (-l, m)$. Это значит, что каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика просто перемещается в новую точку с координатами $(x_0 - l, y_0 + m)$.

Если же выбирать строго между двумя предложенными последовательными алгоритмами, то Алгоритм 1 (сначала горизонтальный сдвиг, затем вертикальный) является более интуитивным. Он следует естественному порядку вычисления значения функции: сначала выполняется операция с аргументом $x$ (сложение с $l$), а затем — с самим значением функции (сложение с $m$). Такая логика ("изнутри наружу") помогает избежать путаницы.

Каким вы будете пользоваться при решении задач и почему?

При решении практических задач я буду пользоваться методом единого параллельного переноса на вектор, так как он обладает тремя ключевыми преимуществами:

• Эффективность и скорость: Вместо двух полных перерисовок графика достаточно определить новые координаты для нескольких ключевых точек (например, вершины параболы, центра окружности, асимптот) и построить по ним итоговый график. Это значительно быстрее. Например, для построения графика $y = \frac{1}{x-2} + 3$ из $y = \frac{1}{x}$, достаточно перенести точку пересечения асимптот $(0,0)$ в точку $(2,3)$ и нарисовать гиперболу в новой системе координат.
• Точность: Исключается возможность совершить ошибку на промежуточном этапе, которая исказит конечный результат. Работа ведется сразу с конечными координатами.
• Наглядность: Геометрически проще и понятнее представить один сдвиг всего графика как твердого объекта, чем два последовательных сдвига.

Таким образом, этот объединенный метод является наиболее рациональным для практического применения.

Ответ: Наиболее предпочтительным и практичным является метод единого параллельного переноса на вектор $\vec{v} = (-l, m)$ из-за его скорости, точности и наглядности. Если выбирать из двух пошаговых алгоритмов, то более интуитивным является тот, в котором сначала выполняется горизонтальный сдвиг, а затем вертикальный, так как это соответствует порядку математических операций в выражении функции.