Номер 3, страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Расскажите, почему при решении рационального уравнения могут появиться посторонние корни. Как их обнаружить?

Расскажите, почему при решении рационального уравнения могут появиться посторонние корни.

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором одна или обе части являются рациональными выражениями (дробями с переменной в знаменателе). Ключевой особенностью таких уравнений является наличие области допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ — это множество всех значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл. В случае рациональных дробей это означает, что их знаменатели не должны равняться нулю.

Посторонние корни появляются из-за использования неравносильных преобразований в процессе решения. Основной метод решения рациональных уравнений — избавление от знаменателей путем умножения обеих частей уравнения на их общий знаменатель. Рассмотрим уравнение вида $ \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 $.

Это уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases} $

Когда мы решаем такое уравнение, мы часто сначала находим корни уравнения-следствия $ P(x) = 0 $, а уже потом проверяем, удовлетворяют ли они условию $ Q(x) \neq 0 $. Если какой-либо корень уравнения $ P(x) = 0 $ обращает в ноль знаменатель $ Q(x) $, то он не является корнем исходного рационального уравнения. Такой корень и называется посторонним. Он является решением для преобразованного уравнения (уравнения-следствия), но не для исходного.

Пример:
Рассмотрим уравнение $ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0 $.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.
2. Чтобы решить уравнение, мы приравниваем числитель к нулю: $ x^2 - 9 = 0 $.
3. Решаем это уравнение-следствие: $ (x-3)(x+3) = 0 $. Получаем два корня: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -3 $.
4. Теперь проверяем эти корни на соответствие ОДЗ.
   • Корень $ x = -3 $ удовлетворяет условию $ x \neq 3 $. Следовательно, это истинный корень исходного уравнения.
   • Корень $ x = 3 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 3 $, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $ x = 3 $ — это посторонний корень.

Таким образом, посторонний корень $ x=3 $ появился в результате того, что мы перешли от дробно-рационального уравнения к целому ($ x^2 - 9 = 0 $), которое имеет более широкую область определения, чем исходное.

Ответ: Посторонние корни при решении рационального уравнения могут появиться из-за того, что в процессе решения (например, при умножении на общий знаменатель) происходит переход к уравнению-следствию, область определения которого шире, чем у исходного уравнения. В результате могут быть найдены значения переменной, которые являются корнями уравнения-следствия, но при которых знаменатели исходного рационального уравнения обращаются в ноль.

Как их обнаружить?

Существует два основных способа обнаружения и отсева посторонних корней.

Способ 1: Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Этот метод заключается в выполнении следующих шагов:

1. В самом начале решения найти ОДЗ уравнения. Для этого нужно приравнять все знаменатели, содержащие переменную, к нулю и найти значения переменной, которые нужно исключить.
2. Решить уравнение (как правило, после преобразования оно становится целым или более простым рациональным).
3. Сравнить полученные корни с ОДЗ. Те корни, которые не входят в ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.

Способ 2: Проверка полученных корней

Этот метод не требует предварительного нахождения ОДЗ:

1. Решить уравнение, получив некоторый набор потенциальных корней.
2. Подставить каждый из найденных корней в исходное рациональное уравнение.
3. Если при подстановке какого-либо корня хотя бы один из знаменателей обращается в ноль, то этот корень является посторонним и исключается из ответа. Если же при подстановке получается верное числовое равенство, корень является истинным.

Пример:
Решим уравнение $ \frac{x}{x+5} + \frac{25}{x^2+5x} = \frac{5}{x} $.

Преобразуем уравнение, заметив, что $ x^2+5x = x(x+5) $:
$ \frac{x}{x+5} + \frac{25}{x(x+5)} - \frac{5}{x} = 0 $

Решение с использованием Способа 1 (ОДЗ):

• Находим ОДЗ. Знаменатели: $ x+5 $ и $ x $.
  $ x+5 \neq 0 \implies x \neq -5 $
  $ x \neq 0 $
  ОДЗ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty) $.
• Умножаем уравнение на общий знаменатель $ x(x+5) $:
  $ x \cdot x + 25 - 5 \cdot (x+5) = 0 $
  $ x^2 + 25 - 5x - 25 = 0 $
  $ x^2 - 5x = 0 $
  $ x(x-5) = 0 $
• Получаем потенциальные корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 5 $.
• Сравниваем с ОДЗ:
  • $ x_1 = 0 $ не входит в ОДЗ ($ x \neq 0 $). Это посторонний корень.
  • $ x_2 = 5 $ входит в ОДЗ. Это истинный корень.

Решение с использованием Способа 2 (Проверка):

• Решив уравнение $ x(x-5) = 0 $, мы получили потенциальные корни $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 5 $.
• Проверяем корень $ x_1 = 0 $:
  Подставляем в исходное уравнение: $ \frac{0}{0+5} + \frac{25}{0^2+5 \cdot 0} = \frac{5}{0} $. В правой части и во втором слагаемом левой части получаем деление на ноль. Следовательно, $ x=0 $ — посторонний корень.
• Проверяем корень $ x_2 = 5 $:
  Подставляем в исходное уравнение: $ \frac{5}{5+5} + \frac{25}{5^2+5 \cdot 5} = \frac{5}{5} $.
  $ \frac{5}{10} + \frac{25}{25+25} = 1 $
  $ \frac{1}{2} + \frac{25}{50} = 1 $
  $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $
  $ 1 = 1 $. Равенство верное. Следовательно, $ x=5 $ — истинный корень.

Ответ: Обнаружить посторонние корни можно двумя способами: 1) заранее найти область допустимых значений (ОДЗ) и после нахождения корней уравнения-следствия исключить те, которые не входят в ОДЗ; 2) после нахождения всех потенциальных корней выполнить их проверку путем подстановки в исходное уравнение и отбросить те, которые приводят к делению на ноль.