Номер 4, страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Что такое биквадратное уравнение? Опишите метод его решения. Примените описанный метод для решения уравнения

$x^4 - 6x^2 - 7 = 0$

Что такое биквадратное уравнение?

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$. Это частный случай уравнения четвертой степени, в котором отсутствуют нечетные степени переменной ($x^3$ и $x$).

Описание метода его решения

Основной метод решения биквадратных уравнений — это метод введения новой переменной (замены), который позволяет свести уравнение четвертой степени к квадратному. Алгоритм решения следующий:

1. Введение новой переменной. Производится замена $x^2 = t$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t \ge 0$.
2. Преобразование уравнения. С учетом замены ($x^2=t$ и, следовательно, $x^4 = (x^2)^2 = t^2$), исходное уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $at^2 + bt + c = 0$.
3. Решение квадратного уравнения. Полученное квадратное уравнение решается для переменной $t$. Корни $t_1, t_2$ можно найти по формуле: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
4. Отбор корней. Найденные значения $t$ проверяются на соответствие условию $t \ge 0$. Если какой-либо корень $t_k < 0$, он отбрасывается, так как уравнение $x^2 = t_k$ не имеет действительных решений.
5. Обратная замена. Для каждого неотрицательного корня $t_k$ решается уравнение $x^2 = t_k$.
6. Нахождение корней исходного уравнения. Из каждого уравнения $x^2 = t_k$ (где $t_k \ge 0$) находятся два корня: $x = \sqrt{t_k}$ и $x = -\sqrt{t_k}$. Если $t_k = 0$, то корень один: $x=0$. В результате биквадратное уравнение может иметь от нуля до четырех действительных корней.

Применение описанного метода для решения уравнения $x^4 - 6x^2 - 7 = 0$

Рассмотрим уравнение $x^4 - 6x^2 - 7 = 0$.

1. Замена переменной. Введем новую переменную $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

2. Составление квадратного уравнения. После подстановки уравнение принимает вид:
$t^2 - 6t - 7 = 0$.

3. Решение квадратного уравнения. Найдем корни полученного уравнения относительно $t$. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Корни для $t$ равны:
$t_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$t_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

4. Отбор корней. Проверяем найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.

• $t_1 = 7$ — удовлетворяет условию $7 \ge 0$.
• $t_2 = -1$ — не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому этот корень является посторонним.

5. Обратная замена. Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя единственный подходящий корень $t=7$:
$x^2 = 7$.

6. Нахождение корней. Извлекаем квадратный корень, чтобы найти значения $x$:
$x = \pm\sqrt{7}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{7}$, $x_2 = -\sqrt{7}$.