Номер 2, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Что является математической моделью каждой разобранной вами в этом параграфе задачи?

Математическая модель — это представление реальной (нематематической) задачи с помощью математических понятий и соотношений. Процесс построения математической модели называется математическим моделированием. Он состоит из трех основных этапов:

1. Построение модели: перевод условия задачи с обыденного языка на язык математики. На этом этапе выбираются переменные и составляются уравнения, неравенства или системы, описывающие связи между ними.
2. Работа с моделью: решение полученного уравнения, неравенства или системы математическими методами.
3. Интерпретация результата: перевод полученного математического решения обратно на язык исходной задачи и анализ его соответствия реальности.

Вопрос касается именно первого этапа — определения математической модели для задач. Поскольку конкретные задачи из параграфа не предоставлены, рассмотрим несколько типичных примеров, для которых строятся математические модели в курсе алгебры.

Задача 1

Условие: На одной полке стояло в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с первой полки убрали 8 книг, а на вторую поставили 14, на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке изначально?

Для составления математической модели введем неизвестную величину. Пусть $x$ — это количество книг, которое было на второй полке изначально.

Согласно условию, на первой полке было в 3 раза больше книг, то есть $3x$.

После изменений на первой полке стало $(3x - 8)$ книг.

На второй полке стало $(x + 14)$ книг.

Поскольку количество книг на полках стало равным, мы можем приравнять эти два выражения. Полученное уравнение и будет математической моделью задачи.

Ответ: Математической моделью задачи является линейное уравнение $3x - 8 = x + 14$.

Задача 2

Условие: Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника переменными $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Из условия $2(a+b) = 34$, что можно упростить до $a+b = 17$. Это первое уравнение нашей модели.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = d^2$. Подставив значение диагонали $d=13$, получаем второе уравнение: $a^2 + b^2 = 13^2$, то есть $a^2 + b^2 = 169$.

Чтобы найти стороны $a$ и $b$, нужно решить систему этих двух уравнений.

Ответ: Математической моделью задачи является система уравнений $\begin{cases} a+b = 17 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases}$.

Задача 3

Условие: Катер прошел 24 км по течению реки и 15 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Собственная скорость катера равна 14 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Обозначим искомую скорость течения реки за $v$ км/ч.

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $(14 + v)$ км/ч.

Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $(14 - v)$ км/ч.

Время движения находится по формуле $t = S/V$.

Время движения по течению: $t_1 = \frac{24}{14+v}$ часов.

Время движения против течения: $t_2 = \frac{15}{14-v}$ часов.

Общее время в пути равно сумме $t_1$ и $t_2$, и по условию оно составляет 3 часа. Составим уравнение, которое и будет математической моделью.

Ответ: Математической моделью задачи является дробно-рациональное уравнение $\frac{24}{14+v} + \frac{15}{14-v} = 3$.