Номер 3, страница 172, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Решите уравнение $x^2 - 2x - 120 = 0$ двумя способами:

a) по общей формуле (1);

б) по более простой формуле (3).

В чём вы видите преимущества второго способа?

а) по общей формуле (1);

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2x - 120 = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -2$, $c = -120$.

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения использует дискриминант $D$.
Сначала вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Найдем значение $\sqrt{D}$: $\sqrt{484} = 22$.
Теперь вычислим корни:
$x_1 = \frac{-(-2) + 22}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 22}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-(-2) - 22}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 22}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Ответ: $x_1 = 12, x_2 = -10$.

б) по более простой формуле (3).

Эта формула используется, когда второй коэффициент $b$ является четным числом. В нашем уравнении $b = -2$, что является четным числом.
В этом случае можно использовать формулу с коэффициентом $k = \frac{b}{2}$.
$k = \frac{-2}{2} = -1$.

Формула для корней через коэффициент $k$: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.
Выражение под корнем, $D_1 = k^2 - ac$, иногда называют "четвертью дискриминанта" ($D_1 = D/4$).
Вычислим $D_1$:
$D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-120) = 1 + 120 = 121$.

Найдем значение $\sqrt{D_1}$: $\sqrt{121} = 11$.
Теперь вычислим корни:
$x_1 = \frac{-(-1) + 11}{1} = 1 + 11 = 12$.
$x_2 = \frac{-(-1) - 11}{1} = 1 - 11 = -10$.

Ответ: $x_1 = 12, x_2 = -10$.

В чём вы видите преимущества второго способа?

Преимущества второго способа (использование формулы для четного второго коэффициента) заключаются в упрощении вычислений, что делает решение более быстрым и менее подверженным ошибкам.

1. Работа с меньшими числами. Все вычисления производятся с меньшими по абсолютной величине числами. Например, при вычислении дискриминанта мы работали с числами $1$ и $120$, получив в итоге $121$, вместо того чтобы работать с $4$ и $480$ и получить $484$. Извлекать квадратный корень из $121$ проще, чем из $484$.

2. Снижение вероятности ошибки. Упрощение арифметических операций и работа с меньшими числами значительно снижают вероятность допустить вычислительную ошибку.

3. Более простая финальная формула. В знаменателе формулы для корней стоит $a$ вместо $2a$. Это часто позволяет избежать последнего шага — сокращения дроби. В первом способе нам пришлось сокращать дроби $\frac{24}{2}$ и $\frac{-20}{2}$, а во втором способе мы сразу получили целочисленные ответы, так как знаменатель был равен 1.

Ответ: Преимущества второго способа в том, что он упрощает арифметические расчеты за счет работы с меньшими числами, что снижает вероятность ошибок и часто позволяет получить ответ без дополнительного сокращения дроби.