Номер 6, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Объясните, как, не применяя формулу корней квадратного уравнения, найти устно корни уравнения:

a) $x^2 - 8x + 15 = 0$;

б) $x^2 - x - 12 = 0$.

Для устного нахождения корней данных квадратных уравнений, не используя формулу корней через дискриминант, удобно применить теорему, обратную теореме Виета. Этот метод особенно эффективен для приведенных квадратных уравнений (у которых коэффициент при $x^2$ равен 1) с целочисленными корнями.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ и его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Суть метода заключается в том, чтобы мысленно подобрать два числа, которые удовлетворяют этим двум условиям одновременно.

а) $x^2 - 8x + 15 = 0$

В данном уравнении второй коэффициент $p = -8$, а свободный член $q = 15$. Согласно теореме Виета, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых их сумма $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$.

Начнем подбор с анализа произведения. Так как произведение ($15$) и сумма ($8$) положительны, оба корня должны быть положительными. Рассматриваем пары целых положительных чисел, которые при умножении дают 15: это 1 и 15, а также 3 и 5. Теперь проверяем их сумму: $1 + 15 = 16$ (не подходит), $3 + 5 = 8$ (подходит). Таким образом, мы нашли корни.

Ответ: 3 и 5.

б) $x^2 - x - 12 = 0$

В этом уравнении коэффициент $p = -1$ и свободный член $q = -12$. Ищем два числа $x_1$ и $x_2$, такие что их сумма $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Поскольку произведение корней отрицательно ($-12 < 0$), корни должны иметь разные знаки. Так как их сумма положительна ($1 > 0$), это означает, что положительный корень по модулю больше отрицательного. Начнем подбирать пары множителей числа -12, удовлетворяющих этому условию, и проверять их сумму. Например, пара (4, -3). Их произведение $4 \cdot (-3) = -12$, а их сумма $4 + (-3) = 1$. Оба условия выполняются, следовательно, мы нашли корни.

Ответ: -3 и 4.