Номер 5, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. В каком случае квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ нельзя разложить на линейные множители?

Возможность разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители напрямую связана с наличием у него действительных корней. Корни квадратного трёхчлена — это значения переменной $x$, при которых трёхчлен обращается в ноль. Эти корни находят из соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Существование действительных корней у этого уравнения определяется знаком его дискриминанта ($D$), который вычисляется по формуле:$D = b^2 - 4ac$

Рассмотрим возможные случаи:

• Если дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. В этом случае трёхчлен раскладывается на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих) $x_1$. В этом случае разложение выглядит так: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$.

В обоих этих случаях, когда $D \ge 0$, квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители.

Однако, если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными числами. Это означает, что в поле действительных чисел разложить данный квадратный трёхчлен на линейные множители невозможно.

Ответ: Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ нельзя разложить на линейные множители в том случае, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является отрицательным числом, то есть $D < 0$.