Номер 2, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Почему при решении иррационального уравнения следует обязательно делать проверку найденных корней?

При решении иррациональных уравнений, то есть уравнений, содержащих переменную под знаком корня, обязательная проверка найденных корней необходима из-за того, что в процессе решения используются неравносильные преобразования. Основным таким преобразованием является возведение обеих частей уравнения в степень (чаще всего в квадрат) с целью избавления от радикала.

Проблема заключается в том, что если исходное уравнение имело вид $f(x) = g(x)$, то после возведения в квадрат мы получаем уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$. Важно понимать, что из равенства $A=B$ следует $A^2=B^2$, но из $A^2=B^2$ следует совокупность $[_{A=-B}^{A=B}$.

Это означает, что уравнение, полученное после возведения в квадрат, является следствием исходного, но не равносильно ему. Его решениями будут не только корни исходного уравнения $f(x) = g(x)$, но и корни уравнения $f(x) = -g(x)$. Корни, которые удовлетворяют второму уравнению, но не удовлетворяют первому, называются посторонними корнями. Проверка как раз и служит для того, чтобы отделить истинные корни от посторонних.

Рассмотрим наглядный пример. Решим уравнение:

$\sqrt{x+2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$

$x+2 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь выполним обязательную проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

1. Проверяем корень $x_1 = 2$:
$\sqrt{2+2} = 2$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$
Равенство верное, значит, $x=2$ является корнем исходного уравнения.

2. Проверяем корень $x_2 = -1$:
$\sqrt{-1+2} = -1$
$\sqrt{1} = -1$
$1 = -1$
Равенство неверное. Следовательно, $x=-1$ — это посторонний корень, который появился в результате возведения в квадрат. Он не является решением исходного уравнения.

Альтернативой проверке подстановкой является нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения $\sqrt{x+2} = x$ должны выполняться условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
2. Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.

Общая ОДЗ: $x \ge 0$. Из найденных нами потенциальных корней ($2$ и $-1$) только $x=2$ удовлетворяет этому условию. Корень $x=-1$ не входит в ОДЗ, поэтому он отбрасывается.

Таким образом, проверка необходима для отсеивания посторонних корней, которые могут возникнуть из-за неравносильности преобразования возведения в степень.

Ответ: Проверку найденных корней при решении иррационального уравнения следует делать обязательно, поскольку основной метод решения — возведение в степень — является неравносильным преобразованием. Это преобразование расширяет множество решений и может привести к появлению посторонних корней, которые не удовлетворяют исходному уравнению. Проверка (путем подстановки в исходное уравнение или через нахождение области допустимых значений) позволяет отсеять эти посторонние корни и найти верное решение.