Номер 5, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Какие преобразования уравнения могут привести к появлению посторонних корней?

Посторонние корни — это значения переменной, которые являются решениями уравнения, полученного в результате преобразований, но не являются решениями исходного уравнения. Их появление связано с выполнением неравносильных преобразований, которые приводят к уравнению-следствию. Основные такие преобразования перечислены ниже.

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень

Это одно из самых частых преобразований, приводящих к появлению посторонних корней. Уравнение $f(x) = g(x)$ и уравнение $f(x)^{2n} = g(x)^{2n}$ (где $n$ — натуральное число) не всегда равносильны. Из того, что $f(x) = g(x)$, следует, что $f(x)^{2n} = g(x)^{2n}$. Однако обратное неверно: из $f(x)^{2n} = g(x)^{2n}$ следует лишь, что $|f(x)| = |g(x)|$, то есть $f(x)=g(x)$ или $f(x)=-g(x)$. Второе уравнение совокупности и может дать посторонние корни.

Пример: Решить иррациональное уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$(\sqrt{x+2})^2 = x^2$

$x+2 = x^2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:

• Для $x_1 = 2$: $\sqrt{2+2} = 2 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2=2$. Это верное равенство, значит $x=2$ является корнем.
• Для $x_2 = -1$: $\sqrt{-1+2} = -1 \Rightarrow \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 1=-1$. Это неверное равенство, значит $x=-1$ является посторонним корнем.

Посторонний корень появился, так как при возведении в квадрат мы не учли, что правая часть исходного уравнения ($x$) должна быть неотрицательной, поскольку она равна значению арифметического квадратного корня.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в четную степень (квадрат, четвертую степень и т.д.) может привести к появлению посторонних корней из-за потери информации о знаках выражений.

2. Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной

Это преобразование опасно, если выражение, на которое мы умножаем, может обращаться в ноль. Если мы умножаем обе части уравнения на $h(x)$, то все корни исходного уравнения останутся корнями, но могут добавиться новые — те значения $x$, при которых $h(x)=0$. Частным случаем является избавление от знаменателя в дробно-рациональных уравнениях, что равносильно умножению на этот знаменатель.

Пример: Решить уравнение $\frac{x^2-9}{x-3} = 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения: $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на $(x-3)$:

$x^2 - 9 = 2x(x-3)$

$x^2 - 9 = 2x^2 - 6x$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень $x=3$.

Однако, если мы подставим этот корень в исходное уравнение, то получим деление на ноль в левой части. Значит, $x=3$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем. Исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: Умножение уравнения на выражение, содержащее переменную, или избавление от знаменателя без учета области допустимых значений (ОДЗ) может привести к появлению посторонних корней.

3. Неравносильные преобразования логарифмических или тригонометрических уравнений

Использование различных формул и свойств (например, свойств логарифмов или формул универсальной тригонометрической подстановки) может приводить к расширению ОДЗ и, как следствие, появлению посторонних корней.

Пример: Решить уравнение $\log_2(x) + \log_2(x-1) = 1$.

ОДЗ исходного уравнения определяется системой неравенств: $\begin{cases} x > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases}$, что равносильно $x > 1$.

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_2(x(x-1)) = 1$

Заметим, что ОДЗ этого уравнения — $x(x-1)>0$, то есть $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. ОДЗ расширилась.

Решаем полученное уравнение:

$x(x-1) = 2^1$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь вернемся к ОДЗ исходного уравнения ($x > 1$):

• $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1$. Это корень.
• $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 1$. Это посторонний корень.

Ответ: Применение формул, которые расширяют ОДЗ (например, объединение логарифмов), может привести к появлению посторонних корней. Для их отсева необходима проверка по ОДЗ исходного уравнения.

В общем случае, любое преобразование, которое не является равносильным, а приводит лишь к уравнению-следствию, потенциально может добавить посторонние корни. Поэтому фундаментальным правилом при решении уравнений является проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или соотнесения с исходной областью допустимых значений.