Номер 3, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. В каком случае уравнения $f(x) = g(x)$ и $r(x) = s(x)$ называют равносильными?

Два уравнения, $f(x) = g(x)$ и $r(x) = s(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их корней (решений) полностью совпадают.

Это означает, что должны выполняться два условия:

• Каждый корень первого уравнения $f(x) = g(x)$ является также корнем второго уравнения $r(x) = s(x)$.
• Каждый корень второго уравнения $r(x) = s(x)$ является также корнем первого уравнения $f(x) = g(x)$.

Другими словами, если обозначить множество корней первого уравнения как $X_1$, а множество корней второго уравнения как $X_2$, то уравнения будут равносильными тогда и только тогда, когда $X_1 = X_2$.

Равносильность также имеет место в том случае, когда оба уравнения не имеют корней. В этом случае их множества решений совпадают, так как оба являются пустыми множествами ($\emptyset$).

Пример 1: Равносильные уравнения

Рассмотрим уравнения $x + 5 = 7$ и $3x = 6$.

• Решением первого уравнения является $x = 2$. Множество корней: $\{2\}$.
• Решением второго уравнения также является $x = 2$. Множество корней: $\{2\}$.

Поскольку множества решений этих уравнений совпадают, уравнения являются равносильными.

Пример 2: Неравносильные уравнения

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x} = -2$ и $x^2 = -1$.

• Первое уравнение $\sqrt{x} = -2$ не имеет действительных корней, так как квадратный корень не может быть отрицательным. Множество корней: $\emptyset$.
• Второе уравнение $x^2 = -1$ также не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Множество корней: $\emptyset$.

Поскольку оба уравнения не имеют решений (их множества решений пусты и, следовательно, равны), они являются равносильными на множестве действительных чисел.

Пример 3: Неравносильные уравнения

Рассмотрим уравнения $x^2 = 16$ и $x = 4$.

• Первое уравнение $x^2 = 16$ имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Множество корней: $\{-4, 4\}$.
• Второе уравнение $x = 4$ имеет только один корень: $x = 4$. Множество корней: $\{4\}$.

Множества решений не совпадают, так как корень $x = -4$ первого уравнения не является корнем второго. Следовательно, эти уравнения не являются равносильными.

Ответ: Уравнения $f(x) = g(x)$ и $r(x) = s(x)$ называют равносильными, если множества их решений (корней) совпадают. Это включает и случай, когда оба уравнения не имеют решений.