Номер 2, страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Задачи с параметрами.

На изображении представлен заголовок раздела "Задачи с параметрами", но отсутствует конкретная задача для решения. Задачи с параметрами — это математические задачи, в условии которых, помимо неизвестных переменных, содержатся буквенные параметры. Решить такую задачу означает найти, при каких значениях параметров выполняются условия задачи (например, уравнение имеет определенное количество корней, неравенство верно для всех $x$ и т.д.).

Для демонстрации метода решения подобных задач, рассмотрим следующую проблему: найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(a-2)x^2 + 2ax + a + 3 = 0$ имеет ровно один корень.

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$, но только если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Поэтому необходимо рассмотреть два основных случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $a-2=0$, то есть $a=2$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$(2-2)x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 2 + 3 = 0$

$0 \cdot x^2 + 4x + 5 = 0$

$4x + 5 = 0$

Это линейное уравнение, которое имеет единственный корень $x = -\frac{5}{4}$. Условие задачи (уравнение имеет ровно один корень) выполняется. Следовательно, $a=2$ является одним из искомых значений параметра.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит при $a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$. В этом случае уравнение является квадратным. Квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет ровно один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант для нашего уравнения. Здесь коэффициенты: $A = a-2$, $B = 2a$, $C = a+3$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

$D = (2a)^2 - 4(a-2)(a+3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = 4a^2 - 4(a^2 + 3a - 2a - 6)$

$D = 4a^2 - 4(a^2 + a - 6)$

$D = 4a^2 - 4a^2 - 4a + 24$

$D = -4a + 24$

Приравниваем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение имеет один корень:

$-4a + 24 = 0$

$-4a = -24$

$a = 6$

При $a=6$ коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($6-2=4 \neq 0$), поэтому это значение параметра нам подходит. При $a=6$ квадратное уравнение имеет один корень.

Итог:

Мы рассмотрели все возможные случаи. Уравнение имеет ровно один корень, если:

1. Оно вырождается в линейное и имеет один корень. Это происходит при $a=2$.

2. Оно является квадратным и имеет один корень (дискриминант равен нулю). Это происходит при $a=6$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a=2; a=6$.