Номер 1, страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Соотношение между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Соотношение между корнями и коэффициентами квадратного уравнения устанавливается с помощью теоремы Виета. Эта теорема, названная в честь французского математика Франсуа Виета, связывает корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения с его коэффициентами.

Теорема Виета для полного квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты, причем $a \neq 0$. Если это уравнение имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$ (то есть дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$), то для них справедливы следующие соотношения, известные как формулы Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Доказательство:
Известно, что корни квадратного уравнения можно найти по общим формулам:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
1. Найдем сумму этих корней:
$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{(-b + \sqrt{b^2 - 4ac}) + (-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$.
2. Найдем произведение корней. Используем формулу разности квадратов $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$ для числителя:
$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$.
Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Для корней $x_1, x_2$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$), сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Частным, но очень распространенным случаем является приведенное квадратное уравнение, в котором старший коэффициент $a=1$. Такое уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$.
Его можно получить из полного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, разделив все его члены на $a$: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. В этом случае $p = \frac{b}{a}$ и $q = \frac{c}{a}$.
Применяя общие формулы Виета, получаем их упрощенный вид:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Эта формулировка особенно удобна для практического применения: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Ответ: Для корней $x_1, x_2$ уравнения $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

Обратная теорема Виета

Справедлива и обратная теорема, которая позволяет по двум числам определить, являются ли они корнями некоторого квадратного уравнения.
Формулировка: если числа $m$ и $n$ таковы, что их сумма $m + n = -p$, а их произведение $m \cdot n = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Доказательство:
Рассмотрим уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию теоремы, мы можем заменить коэффициенты $p$ и $q$ на выражения через $m$ и $n$:
$p = -(m+n)$
$q = m \cdot n$
Подставим их в уравнение:
$x^2 - (m+n)x + mn = 0$.
Чтобы доказать, что $m$ и $n$ являются корнями, подставим их поочередно в это уравнение.
При $x = m$ имеем:
$m^2 - (m+n)m + mn = m^2 - m^2 - nm + mn = 0$. Равенство $0=0$ верное, значит $m$ — корень.
При $x = n$ имеем:
$n^2 - (m+n)n + mn = n^2 - mn - n^2 + mn = 0$. Равенство $0=0$ верное, значит $n$ — тоже корень.
Теорема доказана.

Обратная теорема Виета широко используется для устного подбора целочисленных корней приведенных квадратных уравнений и для составления квадратного уравнения по его известным корням.

Ответ: Если для чисел $m$ и $n$ выполняются равенства $m + n = -p$ и $m \cdot n = q$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.