Номер 3, страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Иррациональные уравнения.

Определение

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала). Например, уравнения `$\sqrt{x+5} = 3$`, `$\sqrt[3]{x^2-1} = x$` и `$\sqrt{x} + \sqrt{x-7} = 4$` являются иррациональными.

Ответ: Иррациональное уравнение – это уравнение, содержащее переменную под знаком корня.

Основные методы решения

Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня, чтобы избавиться от радикала. Если в уравнении несколько корней, операцию повторяют несколько раз.

• Возведение в степень. Если уравнение имеет вид `$\sqrt[n]{f(x)} = g(x)$`, то его возводят в `$n$`-ю степень: `$f(x) = (g(x))^n$`.
• Проверка корней и область допустимых значений (ОДЗ). При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни. Это происходит потому, что из `$A^2 = B^2$` не следует, что `$A=B$` (возможно, `$A=-B$`). Поэтому после нахождения корней необходимо выполнить проверку одним из двух способов:
  1. Подставить найденные значения в исходное уравнение и убедиться, что получается верное равенство.
  2. Найти область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Для корней четной степени (`$\sqrt{}$, `$\sqrt[4]{}$`, ...) подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Также, если корень четной степени приравнивается к некоторому выражению (`$\sqrt{f(x)} = g(x)$`), то это выражение также должно быть неотрицательным (`$g(x) \ge 0$`). Корни, не входящие в ОДЗ, являются посторонними.
• Введение новой переменной (замена). Этот метод используется для упрощения сложных уравнений. Если в уравнении многократно встречается некоторое выражение с корнем, его можно заменить на новую переменную, свести задачу к более простому (часто алгебраическому) уравнению, а затем выполнить обратную замену.

Ответ: Основные методы решения иррациональных уравнений — это возведение обеих частей уравнения в степень, проверка корней (или нахождение ОДЗ) и метод введения новой переменной.

Примеры решения

1) Решите уравнение `$\sqrt{x+7} = 4$`.

Решение.

Это простейшее иррациональное уравнение. Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

`$(\sqrt{x+7})^2 = 4^2$`

`$x+7 = 16$`

Перенесем 7 в правую часть:

`$x = 16 - 7$`

`$x = 9$`

Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:

`$\sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$`.

`$4 = 4$`. Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 9.

2) Решите уравнение `$\sqrt{3x+4} = x$`.

Решение.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то правая часть уравнения должна быть неотрицательной: `$x \ge 0$`. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: `$3x+4 \ge 0$`, что дает `$x \ge -4/3$`. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: `$x \ge 0$`.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

`$(\sqrt{3x+4})^2 = x^2$`

`$3x+4 = x^2$`

Получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:

`$x^2 - 3x - 4 = 0$`

Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корни уравнения: `$x_1 = 4$` и `$x_2 = -1$`.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ (`$x \ge 0$`).

Корень `$x_1 = 4$` удовлетворяет условию `$4 \ge 0$`.

Корень `$x_2 = -1$` не удовлетворяет условию `$-1 \ge 0$`, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: 4.

3) Решите уравнение `$x - \sqrt{x+1} = 5$`.

Решение.

Сначала изолируем корень в одной части уравнения. Это упростит возведение в квадрат.

`$x - 5 = \sqrt{x+1}$`

Определим ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение: `$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$`. Во-вторых, правая часть (корень) неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной: `$x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$`. Объединяя условия, получаем ОДЗ: `$x \ge 5$`.

Теперь возведем обе части уравнения `$x-5 = \sqrt{x+1}$` в квадрат:

`$(x-5)^2 = (\sqrt{x+1})^2$`

`$x^2 - 10x + 25 = x+1$`

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

`$x^2 - 11x + 24 = 0$`

Найдем корни. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 24. Корни: `$x_1 = 3$` и `$x_2 = 8$`.

Проверим корни по ОДЗ (`$x \ge 5$`):

`$x_1 = 3$` не удовлетворяет условию, так как `$3 < 5$`. Это посторонний корень.

`$x_2 = 8$` удовлетворяет условию, так как `$8 \ge 5$`.

Можно также выполнить прямую подстановку в исходное уравнение:

При `$x=8$`: `$8 - \sqrt{8+1} = 8 - \sqrt{9} = 8-3 = 5$`. Верно.

При `$x=3$`: `$3 - \sqrt{3+1} = 3 - \sqrt{4} = 3-2 = 1 \ne 5$`. Неверно.

Ответ: 8.

4) Решите уравнение `$\sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4$`.

Решение.

ОДЗ: `$2x-3 \ge 0 \implies x \ge 1.5$` и `$4x+1 \ge 0 \implies x \ge -0.25$`. Общее ОДЗ: `$x \ge 1.5$`.

Уединим один из корней:

`$\sqrt{4x+1} = 4 - \sqrt{2x-3}$`

Возведем в квадрат обе части:

`$(\sqrt{4x+1})^2 = (4 - \sqrt{2x-3})^2$`

`$4x+1 = 16 - 8\sqrt{2x-3} + (2x-3)$`

`$4x+1 = 13 + 2x - 8\sqrt{2x-3}$`

Снова уединим оставшийся корень:

`$4x+1 - 13 - 2x = -8\sqrt{2x-3}$`

`$2x - 12 = -8\sqrt{2x-3}$`

Разделим обе части на 2 для упрощения:

`$x - 6 = -4\sqrt{2x-3}$`

Еще раз возведем в квадрат. Обратим внимание, что левая часть `$x-6$` и правая `$-4\sqrt{2x-3}$` должны иметь одинаковые знаки. Так как правая часть неположительна (`$\le 0$`), то и левая должна быть такой же: `$x-6 \le 0 \implies x \le 6$`. С учетом ОДЗ (`$x \ge 1.5$`), получаем, что корень должен лежать в интервале `$[1.5, 6]$`.

`$(x-6)^2 = (-4\sqrt{2x-3})^2$`

`$x^2 - 12x + 36 = 16(2x-3)`

`$x^2 - 12x + 36 = 32x - 48$`

`$x^2 - 44x + 84 = 0$`

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант `$D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 1936 - 336 = 1600 = 40^2$`.

`$x_{1,2} = \frac{44 \pm 40}{2}$`

`$x_1 = \frac{84}{2} = 42$`

`$x_2 = \frac{4}{2} = 2$`

Проверяем корни по найденному ограничению `$[1.5, 6]$`.

`$x_1=42$` не принадлежит этому интервалу. Это посторонний корень.

`$x_2=2$` принадлежит интервалу.

Подставим `$x=2$` в исходное уравнение для окончательной проверки:

`$\sqrt{2(2)-3} + \sqrt{4(2)+1} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$`. Верно.

Ответ: 2.