Номер 1, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Какие уравнения называют иррациональными?

1. Какие уравнения называют иррациональными?

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала). Иначе говоря, если в уравнении есть выражение вида $\sqrt[n]{f(x)}$, где $f(x)$ — это алгебраическое выражение, содержащее переменную $x$, то такое уравнение является иррациональным.

Ключевая особенность иррационального уравнения — это наличие переменной в подкоренном выражении. Показатель корня $n$ — это натуральное число, большее или равное 2.

Также к иррациональным уравнениям относят те, что содержат переменную в основании степени с рациональным (дробным) показателем, поскольку такую степень всегда можно представить в виде корня по определению: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

Примеры иррациональных уравнений:

• $\sqrt{x-2} = 4$ — переменная $x$ находится под знаком квадратного корня.
• $\sqrt[3]{x^2 + 1} = 5$ — переменная $x$ находится под знаком кубического корня.
• $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$ — переменная $x$ содержится в нескольких подкоренных выражениях.
• $(x+3)^{\frac{1}{2}} = x - 3$ — это уравнение эквивалентно иррациональному уравнению $\sqrt{x+3} = x - 3$.

Важно отличать иррациональные уравнения от уравнений, которые содержат иррациональные числа в качестве коэффициентов, но переменная в них не находится под корнем. Например, уравнение $x\sqrt{5} = 10$ не является иррациональным. Это простое линейное уравнение, где $\sqrt{5}$ — это иррациональный коэффициент.

Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня, с целью избавления от радикала. Этот метод может приводить к появлению посторонних корней, поэтому обязательным этапом решения является проверка всех найденных корней или нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

Ответ: Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная находится под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.